BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

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Language: ZH-HANT

Type: Human

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我們的世界是由模式和序列組成的。 他們都在我們身邊。 白天變成黑夜。 動物以不斷變化的形態穿越地球。 景觀在不斷變化。 數學開始的原因之一是因為我們需要找到一種 理解這些自然模式的方法。 數學的最基本概念-空間和數量- 紮根於我們的大腦。 甚至動物也有距離和數量感,可以 評估它們的背包何時超過數量,以及是否戰鬥或飛行,併 計算其獵物是否在驚人的距離之內。 了解數學是生與死之間的區別。 但是只有這些人接受了這些基本概念, 並開始在這些基礎上進行構建。 在某個時候,人類開始發現模式, 建立聯繫,計數並命令周圍的世界。
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這樣,一個全新的數學世界開始出現。 這就是尼羅河。 幾千年來,它一直是埃及的生命線。 我之所以來到這裡,是因為它 是我們今天所知道的 一些 數學 的最初標誌 。 人們放棄了游牧生活,早在公元前6000年就開始在此定居。 條件非常適合耕種。 每年埃及農業最重要的事件是尼羅河水災。 因此,這被用作每個新的一年的標記。 埃及人確實記錄了一段時間內發生的事情, 因此,要建立這樣的日曆, 您需要計算 月球相之間發生 了多少天,例如 兩次洪水之間發生了多少天。尼羅河。 記錄季節的模式 不僅對他們的土地管理 至關重要, 而且對他們的宗教信仰也 至關重要 。
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定居在尼羅河岸邊的古埃及人 認為,每年河水氾濫的是河神哈比。 為了換取生命之水, 市民們將部分產量作為感恩節。 隨著定居點的擴大,有必要找到管理這些定居點的方法。 需要計算土地面積,預測作物產量, 收取和整理稅收。 簡而言之,人們需要數數和衡量。 埃及人用他們的身體來測量世界, 這就是他們的測量單位如何演變的過程。 手掌是手的寬度, 肘部是從肘部到指尖的臂長。 法老的測量師使用 土地肘節(土地條數為100肘節) 來計算面積。 官僚主義 與古埃及的數學發展 之間有著非常緊密的聯繫 。 從一開始, 從數字系統的發明到 整個埃及歷史,
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我們都可以真正看到這一聯繫 。 對於舊王國,我們僅有的證​​據 是計量系統,即面積和長度的度量。 這表明發展這種事情的官僚主義需要。 知道農民土地的面積至關重要,以便可以對他徵稅。 或者,如果尼羅河搶奪了他的部分土地,那麼他可以要求退稅。 這意味著法老的測量員經常在計算 不規則土地的面積。 解決此類實際問題的 需要使他們成為最早的數學創新者。 埃及人需要某種方式來記錄他們的計算結果。 在覆蓋開羅各地旅遊紀念品的所有像形文字中, 我一直在尋找那些記錄了歷史上第一個數字 的象形文字 。 他們很難追查。 但是我確實找到了他們。 埃及人使用十進制系統,這是由我們的十個手指驅動的。
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一個的標誌是中風, 10,腳跟骨,100,一卷繩子和1000,蓮花。 這件T恤多少錢? 呃25. 25!是的!那將是2個膝蓋骨頭和5招。 所以你不會在這裡向我收取任何費用嗎?這裡,一百萬! 一百萬?我的天哪! 這一百萬。 一百萬,是的,這相當大! 象形文字很漂亮,但是埃及數字系統從根本上來說是有缺陷的。 他們沒有位值的概念, 因此一個筆劃只能代表一個單位, 而不是100或1,000。 儘管您可以只用一個字符 而不是我們使用的七個 字符 來寫一百萬,但是如果您想寫一百萬減去 一個字符, 那麼這位可憐的老埃及抄寫員必須寫九個筆觸, 九個腳跟骨頭,九個線圈,依此類推, 總共54個字符。 儘管此數字系統有缺點,但埃及人還是出色的問題解決者。
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我們知道這是因為倖存下來的記錄很少。 埃及抄寫員使用紙莎草紙 記錄他們的數學發現。 這種由蘆葦製成的精緻材料會隨著時間的流逝 而 腐爛 ,許多秘密隨之消失。 但是,有一個具有啟發性的文件仍然存在。 Rhind數學紙莎草紙是 我們今天擁有的關於埃及數學 的最重要文件 。 我們很好地概述 了埃及人將在數學中處理 哪些類型的問題 。 我們還明確指出瞭如何進行乘法和除法。 紙莎草紙展示瞭如何將兩個大數相乘。 但是為了說明該方法,讓我們取兩個較小的數字。 我們做六遍三遍。 抄寫員將第一個數字(三個)放在一欄中。 在第二欄中,他將排名第一。 然後,他會將每列中的數字加倍,因此三個變成六個……
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然後 六個將變成12。 然後在第二列中,一個變成兩個, 而兩個變成四個。 現在,這是真正的聰明之處。 抄寫員想將三乘以六。 因此,他在第二列中採用了2的冪, 加起來為6。那是二加四。 然後,他移回第一列,並僅獲取 對應於第二和第四行的那些行。 所以分別是6和12。 他將它們加起來得到18的答案。 但是對我來說,這種方法最引人注目的 是抄寫員有效地用二進制寫了第二個數字。 六是四的一,二的一無單位。 這是1-1-0。 在數學家和哲學家萊布尼茲(Leibniz)揭示其潛能之前, 埃及人已經了解了3000多年的二進制技術 。 今天,整個技術世界都依賴 於古埃及使用 的相同原理 。
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Rhind Papyrus由一位名叫Ahmes的抄寫員於1650BC左右錄製。 它的問題與尋找日常情況的解決方案有關。 其中一些問題涉及麵包和啤酒, 這並不奇怪,因為埃及工人在食物和飲料方面獲得報酬。 一個人關心的是如何 在不打架的情況下 將9條麵包 平均分配給10個人。 我這裡有九個麵包。 我要把它們中的五個切成兩半。 當然,有九個人可以從麵包上削掉十分之一,然後將麵包 屑交給第十個人。 但是埃及人提出了一個更為優雅的解決方案- 將接下來的四個分解為三分之二。 但是我現在要把三分之二切成五分之一, 所以每張將是十五分之一。 然後,每個人獲得一半 ,三分之一 和十五分之一。
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通過這些看似實際的問題 ,我們開始看到更加抽象的數學的發展。 突然之間,出現了新的數字-分數- 不久之後埃及人開始探索這些數字的數學方法。 分數顯然對任何在市場上進行交易劃分數量的人都具有實際的重要性。 為了記錄這些交易,埃及人開發了記錄這些新數字的符號。 這些分數的最早表示形式之一 來自象形文字,它具有極大的神秘意義。 它被稱為荷魯斯之眼。 荷魯斯是一位古老的王國神,被描述為一半的人,一半的獵鷹。 據傳,荷魯斯的父親被他的另一個兒子塞思(Seth)殺死。 Horus決心為謀殺報仇。 在一場特別激烈的戰鬥中, 塞思撕開了荷魯斯的眼睛,將其撕裂並散佈在埃及上空。 但是眾神在荷魯斯身上看好了。
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他們收集了散落的碎片,重新組裝了眼睛。 眼睛的每個部分代表不同的部分。 每個一個,一半的分數。 儘管原始眼睛代表整個單元, 但重新組裝的眼睛短了1/64。 儘管埃及人停在1/64,但 此圖中暗含 的可能性是增加更多的分數, 每次將其減半,總和越來越接近一個, 但從未完全達到。 這是所謂的幾何級數的第一個提示, 它出現在Rhind Papyrus中的許多點上。 但是, 直到幾百年後亞洲的數學家發現 了無限級數的概念, 它才被 隱藏起來 。 建立了包括這些新分數在內的數字系統之後, 埃及人便該將他們的知識 應用於理解他們日常遇到的形狀。 這些形狀很少是規則的正方形或矩形,
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在Rhind紙莎草紙中,我們發現了更有機的形狀區域,即圓形。 實際上,在計算 圓面積時 令人吃驚的 是它的精確性。 他們如何找到自己的方法尚有待猜測, 因為我們所獲得的文字 並未向我們展示如何找到它們的方法。 這種計算特別引人注目,因為它取決於 觀察圓形如何 通過埃及人已經理解的形狀來近似。 Rhind紙莎草紙指出, 直徑為9個單位 的圓形場的 面積接近於側面為8個的正方形。 但是如何發現這種關係呢? 我最喜歡的理論在古老的曼卡拉遊戲中找到了答案。 發現曼卡拉板刻在寺廟的屋頂上。 每個玩家都以相等數量的石頭開始, 遊戲的目的是將它們繞板移動
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,在途中捕獲對手的指示物。 當球員們圍坐在旁邊等待下一步行動時, 也許其中一個人意識到有時球會 以一種相當不錯的方式 填充 到Mancala板上 的圓形孔 中。 他可能繼續嘗試做更大的圈子。 也許他注意到64塊石頭,即8的正方形, 可以用來製作一個直徑為9塊石頭的圓。 通過重新排列石頭,圓已近似為一個正方形。 由於圓的面積是pi乘以半徑平方的乘積, 因此埃及計算得出pi的第一個準確值。 圓的面積為64。將其除以半徑平方, 在本例中為4.5平方,即可得到pi的值。 因此,將64除以4.5的平方即為3.16, 距離其真實價值僅不到百分之二十分。 但真正的妙處是,埃及人 正在使用這些較小的形狀捕獲較大的形狀。
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但是, 我們尚未嘗試揭開 埃及 數學 的一個氣勢雄偉的象徵 - 金字塔。 我看過太多照片,簡直不敢相信我會對它們印象深刻。 但是與他們面對面地交流,您會理解為什麼他們被稱為 古代世界七大奇觀之一。 他們簡直令人嘆為觀止。 當 它們 的側面像玻璃一樣光滑,反射出沙漠的陽光時 ,他們 在當下 一定會給人留下深刻的印象 。 在我看來,沙漠下面可能有金字塔形的鏡子, 可以完成形狀以製成完全 對稱的 八面體。 有時,在沙漠炎熱的微光下,您幾乎可以看到這些形狀。 隱藏在這些形狀中的對稱性暗示使它們對於數學家而言如此令人印象深刻。 金字塔距離創建這些完美的形狀 還有些 短, 但是有些人認為,另一個重要的數學概念 可能隱藏在大金字塔的比例中-黃金比例。
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如果最長 和最短 的關係 與最長邊和最短邊的總和相同 ,則兩個長度為黃金比例 。 這樣的比例與人們 在自然世界中 發現的完美比例 以及 幾千年 的藝術家, 建築師和設計師 的作品有關 。 金字塔的建築師是意識到這個重要的數學概念, 還是因為其令人滿意的美學特性而被本能吸引,我們永遠不會知道。 對我來說,關於金字塔症的最令人印象深刻的事就是 使它們成 數學的光輝 ,包括 對古代世界最偉大的定理之一畢達哥拉斯定理 的第一次認識 。 為了在建築物 和金字塔 上獲得完美的直角 ,埃及人會使用綁有結的繩索。 在某個時候,埃及人意識到,如果他們採取一個三角形,其側面 標有三個結,四個結和五個結,則可以保證它們完美的直角。
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這是因為三個平方加上四個平方等於五個平方。 因此,我們有一個完美的勾股三角。 實際上,任何邊滿足此關係的三角形都會給我90度角。 但是我很確定埃及人沒有 對他們的3、4、5三角形進行全面的概括。 我們不希望找到一般的證明, 因為這不是埃及數學的風格。 使用具體數字解決了每個問題,然後 如果最後進行驗證,則將使用結果, 並且 使用 這些給定的具體數字, 埃及數學文本中沒有通用的證明。 希臘人和畢達哥拉斯 要證明所有直角三角形都具有某些特性 大約需要2,000年 。 這不是埃及人所期望的唯一數學思想。 在一份有4,000年曆史的文件《莫斯科紙莎草紙》中,我們找到了 一個金字塔
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的體積公式 ,其峰頂被切掉了,這顯示了微積分在起作用的第一個提示。 對於像埃及這樣以金字塔聞名的文化,您會希望像這樣的問題 在數學教科書中成為常見現象。 根據 我們從古代埃及 獲得的現代數學標準, 計算截頂金字塔的體積是最 高級的位 之一 。 建築師和工程師當然希望使用這樣的公式 來計算製造它所需的材料量。 但這 是埃及數學 精巧 的 標誌, 因為它們能夠產生如此精美的方法。 要了解他們是如何得出公式的,請先 構建 一個金字塔 ,使最高點直接位於一個角上。 其中的三個可以放在一起製成一個矩形盒子, 所以斜金字塔的體積是盒子的三分之一。
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也就是說,高度乘以長度乘以寬度除以三。 現在有一個論點,它顯示了演算的最初提示,距 戈特弗里德·萊布尼茲和艾薩克·牛頓提出該理論已有數千年了。 假設您可以將金字塔切成薄片,然後滑動 圖層以使吉薩金字塔更加對稱。 但是,儘管重新排列了金字塔,金字塔的體積並沒有改變。 因此,相同的公式有效。 埃及人是出色的創新者, 他們創造新數學的能力令人震驚。 對我來說,他們揭示了幾何學和數字的力量,並邁出了 一些激動人心的數學發現 的第一步 。 但是,還有另一種文明可以在數學上與埃及媲美。 我們對他們的成就了解更多。 這是大馬士革,已有5,000多年的歷史了,
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今天仍然充滿活力。 它曾經是將舊的美索不達米亞與埃及連接起來的貿易路線上最重要的一點。 從公元前1800年開始,巴比倫人控制了現代伊拉克,伊朗和敘利亞的大部分地區。 為了擴展和管理自己的帝國,他們成為了數字管理和操縱的大師。 例如,我們有法律法規,可以告訴我們 有關社會秩序的方式。 我們最了解的人是文士,有識字 和算計的人,他們為有錢人家以及寺廟和宮殿保留記錄。 抄寫員學校存在於大約公元前2500年。 有抱負的抄寫員從小就被送到那裡,並學習瞭如何閱讀,寫作和使用數字。 抄寫員的記錄保存在泥板上, 這使巴比倫人得以管理和發展自己的帝國。 但是,我們今天擁有的許多平板電腦不是官方文件,而是兒童練習。
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正是這些不大可能的遺跡使我們對巴比倫人如何進行數學有了難得的見解。 因此,這是一本大約在公元前18世紀的幾何教科書。 希望您能看到上面有很多圖片。 在每張圖片的下面都有一個文字,它設置了有關圖片的問題。 例如,這裡說的是,我畫了一個正方形,長60個單位, 在裡面,我畫了四個圓圈-他們的面積是多少? 這裡的這個小平板電腦的書寫時間至少比這裡的平板電腦晚了1000年, 但是有著非常有趣的關係。 它 在正方形 上還 畫 有四個圓圈 ,大致畫出了 圓圈 ,但這不是教科書,而是學校的習題。 正在教學生的成人抄寫員 作為完成作業或類似工作的示例。 像埃及人一樣,巴比倫人似乎對 解決與測量和稱重 有關 的實際問題 很感興趣 。
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巴比倫解決這些問題的方法就像數學食譜一樣。 抄寫員只需遵循並記錄一組說明即可得出結果。 這是他們要解決的這類問題的示例。 我這裡有一捆肉桂棒,但我不會稱重。 取而代之的是,我要把它們的重量增加四倍,然後添加到秤上。 現在我要加20杜松子酒。杜松子酒是古老的巴比倫重量度量。 我要把這裡的所有東西都拿走一半,然後再次添加... 那是兩捆,十杜松子酒。 這邊的一切都等於一個法力值。一法力是60杜松子酒。 在這裡,我們有了歷史上最早的數學方程式之一, 這邊的一切都等於一個法力值。 但是那捆肉桂棒重多少? 沒有任何代數語言,他們就可以操縱 數量來證明肉桂棒重達5杜松子酒。
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在我看來,正是這種問題使數學有些不好意思。 您可以將您在學校遇到的所有曲折問題歸咎於那些古老的巴比倫人。 但是古代的巴比倫文士在這種問題上表現出色。 有趣的是,他們沒有像埃及人那樣使用10的冪,而是使用60 的 冪。 巴比倫人像埃及人一樣,是通過手指發明了他們的數字系統。 但是, 巴比倫人沒有 通過手指上的十個手指來計數,而是 找到了一種更有趣的方法來計數身體部位。 他們一方面使用12個指關節,另一方面 使用5個手指來計數 12乘5,即60個不同的數字。 因此,例如,這個數字本來應該是2批次的12、24, 然後是1、2、3、4、5,從而得出29。 數字60具有另一個強大的屬性。 它可以通過多種方式完美地劃分。 這是60粒豆。 我可以將它們排列成30 行的
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2行 。20 行的 3行 。15行的 5行。12 行的6行或10行的6行。 除數60使它成為進行算術的理想基礎。 Base 60系統非常成功,今天我們仍然使用它的元素。 每次我們想說出時間時,我們便會識別 每分鐘60-60秒的 單位, 每小時一小時60分鐘的單位。 但是,巴比倫人數制的最重要特徵是它認識到了地方價值。 就像我們的十進制數字計算您正在記錄的數十,數百和數千個 數字一樣,每個巴比倫數字的位置也記錄了60的冪。 他們不會寫出 越來越大的數字的新符號,而是 會寫1-1- 1,因此該數字將為3,661。 這一發現的催化劑是巴比倫人渴望繪製夜空路線的願望。 巴比倫人的日曆基於月亮的周期。
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他們需要一種記錄天文數字的方法。 逐月,逐年記錄這些週期。 從大約公元前800年開始,有完整的月蝕清單。 巴比倫的測量系統當時相當複雜。 他們有一個角度測量系統, 整個圓周360度,每個度分為 60分鐘,一分鐘又分為60秒。 因此,他們有一個常規的測量系統,並且與他們的數字系統完美協調, 因此它不僅非常適合觀察,而且非常適合計算。 但是為了計算和處理這些大數字, 巴比倫人需要發明一個新的符號。 這樣,他們 為數學史上 的重大 突破之一-零 奠定了基礎 。 在早期,巴比倫人為了在 數字中間 標記一個空白處 ,只會留下一個空白。
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因此,他們需要一種在數字中間什麼都不表示的方法。 因此,他們使用了一個符號(作為一種呼吸標記)和一個標點符號,該符號的 意思是數字中間為零。 這是數學世界中第一次以任何形式出現零。 但是,這個小小的佔位符要成為一個數字,還需要一千多年的時間。 建立瞭如此精密的數字系統後, 他們利用它來馴服遍及美索不達米亞的干旱荒涼的土地。 巴比倫的工程師和測量師發現了 獲取水並將其引導到農田的 巧妙方法 。 再一次,他們使用數學來提出解決方案。 敘利亞的奧龍特斯山谷仍然是農業中心, 如今,與數千年前一樣,如今 仍在使用 古老的灌溉方法。
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巴比倫數學 中的 許多問題 都與土地測量有關,這是我們第一次 在 這裡看到 二次方程式的使用,這是巴比倫數學最大的遺產之一。 二次方程式涉及 您要識別 的未知量 與其自身相乘的 事物 。 之所以稱其為平方,是因為它給出了一個正方形的面積, 並且在計算土地面積的背景下, 這些二次方程自然而然地產生了。 這是一個典型的問題。 如果一個字段的面積為55個單位, 並且一側比另一側長6個單位, 那麼較短的一側要多長時間? 巴比倫的解決方案是將字段重新配置為正方形。 從末端切下三個單位 並移動此回合。 現在,缺少了三乘三的零件,所以我們將其添加進去。 場地面積增加了九個單位。
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這將使新區域成為64。 因此,正方形的邊為8個單位。 問題解決者知道他們在這一方面增加了三個。 因此,原始長度必須為5。 它可能看起來不像它,但這是歷史上最早的二次方程式之一。 在現代數學中,我將使用代數的符號語言來解決此問題。 巴比倫人的一項壯舉是,他們利用這些幾何遊戲來尋找價值, 而沒有任何符號或公式。 巴比倫人為自己著想解決問題。 他們愛上了數學。 巴比倫人對數字的迷戀也很快在他們的閒暇時間中找到了位置。 他們是狂熱的遊戲玩家。 巴比倫人及其子孫玩 五子棋已有5000多年的歷史。 巴比倫人玩棋盤遊戲, 從皇家陵墓中非常豪華的棋盤遊戲到學校發現的少量棋盤遊戲,
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再到在宮殿入口處刮擦的棋盤遊戲, 這樣看守人在無聊時一定會玩, 並且使用骰子移動他們的櫃檯。 玩遊戲的人在閒暇時間使用數字來試圖擊敗對手, 非常快地進行心算, 因此他們在閒暇時間進行計算, 甚至沒有將其視為數學上的努力。 現在是我的機會。 “我已經很久沒有玩西洋雙陸棋了,但我認為我的數學會給我一次戰鬥的機會。” 取決於您。六...我需要移動一些東西。 “但這並不像我想的那麼容易。” 啊!這是什麼東西? 是的,這是一,這是二。 現在你有麻煩了。 所以我什麼也不能動。您無法移動這些。 哦,天哪。 妳去 三四 “就像古代的巴比倫人一樣,我的對手是戰術數學的大師。”
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是的 放在那裡好遊戲。 巴比倫人被公認為是最早 使用對稱數學形狀製作骰子的 文化之一 , 但是關於它們是否也可能 是最早發現另一種重要形狀的秘密的 爭論更加激烈 。 直角三角形。 我們已經看到埃及人如何使用3-4-5直角三角形。 但是巴比倫人對這種形狀以及其他類似形狀的了解要復雜得多。 這是我們擁有的最著名和最具爭議的古代碑。 它被稱為Plimpton322。 許多數學家相信,這表明巴比倫人 很可能已經知道直角三角形的原理, 對角線的正方形是邊上的正方形的總和, 並且在希臘人宣稱它是幾個世紀之前就知道了。 。 這可以說是最著名的巴比倫碑, 即Plimpton 322 的副本, 此處的這些數字反映了三角形的寬度或高度,
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即對角線,另一邊在此處, 並且此列的正方形加上此列中數字 的平方等於對角線的平方。 它們在 非常均勻的基礎上以 逐漸減小的角度順序排列,這 表明有人 對數字如何組合有很多了解。 這裡有15個完美的畢達哥拉斯三角形,它們的邊均具有整數長度。 人們很容易想到巴比倫人是畢達哥拉斯定理的第一批保管人, 並且得出結論說,幾代歷史學家被這一事實所吸引。 但是, 對於滿足畢達哥拉斯定理的三個數的集合, 可能有一個更簡單的解釋 。 這不是畢達哥拉斯三元組的系統解釋,它只是 一位數學老師在做一些相當複雜的計算, 但是為了產生一些非常簡單的數字,
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以便為他的學生設置有關直角三角形的問題, 從這個意義上講,它是關於畢達哥拉斯僅是三倍。 他們了解的最有價值的線索可能在其他地方。 這款小型學校運動平板電腦已有近4,000年的歷史 ,它揭示了巴比倫人對直角三角形的了解。 它使用畢達哥拉斯(Pythagoras)定理的原理來找到令人震驚的新數字的值。 沿對角線繪製的確非常好地近似於2的平方根, 因此向我們展示了它在學校環境中是已知的並已被使用。 為什麼這麼重要? 因為二的平方根就是我們現在所說的無理數, 也就是說,如果我們將其寫成小數點,或者甚至用十六進製表示, 那麼它就不會結束,所以數字永遠在小數點後一直存在。
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這種計算的意義是深遠的。 首先,這意味著巴比倫人比畢達哥拉斯 早1,000年 就知道畢達哥拉斯定理 。 其次,他們可以計算出精確到小數點後四位的數字這一事實 表明了一種驚人的算術功能,以及對數學細節的熱情。 巴比倫人的數學技巧令人震驚, 近2000年來,他們帶頭推動了古代世界的知識進步。 但是,當他們的帝國力量開始減弱時,他們的思想活力也隨之減弱。 到公元前330年,希臘人將其帝國勢力擴展到了老美索不達米亞。 這是敘利亞中部的巴爾米拉(Palmyra),這是希臘人一度曾建的偉大城市。 建立具有如此幾何完美的結構所需的數學專業知識令人印象深刻。 就像他們之前的巴比倫人一樣,希臘人對數學充滿熱情。
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希臘人是聰明的殖民者。 他們從入侵的文明中汲取 了最大的力量來發展自己的力量和影響力, 但他們很快就做出了自己的貢獻。 在我看來,他們最大的創新就是思想的轉變。 他們發起的行動將影響人類幾個世紀。 他們給了我們證明的力量。 他們以某種方式決定必須為數學建立一個演繹系統, 典型的演繹系統是從某些公理開始的,您認為這是對的。 就像您假設某個定理是正確的而沒有證明它一樣。 然後,使用邏輯方法和非常謹慎的步驟, 從這些公理中證明了定理 ,從這些定理中證明了更多定理,而這只是雪球。 證明是賦予數學力量的原因。 這是力量或證明,這意味著希臘人的發現 今天與2000年前一樣真實。
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我需要向西進入古希臘帝國的心臟地帶,以了解更多信息。 對我而言,希臘數學一直是英雄和浪漫主義。 我正在前往薩摩斯島(Samos),距土耳其海岸不到一英里。 這個地方已經成為希臘數學誕生的代名詞,這取決於 一個人的傳說。 他叫畢達哥拉斯。 圍繞他的生活和工作的傳奇故事 為他在過去2,000年中獲得的名人地位 做出了貢獻 。 無論是對是錯,他都被認為是正確的,他開始了 從數學作為會計工具到如今我們認識的分析學科 的轉變 。 畢達哥拉斯是一個有爭議的人物。 因為他沒有留下任何數學著作,所以許多人質疑 他是否確實解決了歸因於他的任何定理。 他於公元前六世紀在薩摩斯島創辦了一所學校, 但他的教were被認為是可疑的,而勾股勾股是一個奇異的派別。
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有充分的證據表明,有畢達哥拉斯的學校, 他們看起來更像是宗派,而不是我們與哲學學校建立的宗派, 因為它們不僅分享知識,而且分享生活方式。 可能有集體生活,他們似乎都 參與了其城市的政治活動。 使她們在古代世界中與眾不同的一個特徵是她們中包括婦女。 但是畢達哥拉斯是理解埃及人和巴比倫人所無法理解的東西的代名詞 -直角三角形的性質。 畢達哥拉斯定理 指出,如果採用任何直角三角形, 在所有邊上都建立正方形,則最大正方形的面積 等於兩個較小邊上的正方形的總和。 It's at this point for me that mathematics is born and a gulf opens up between the other sciences, and the proof is as simple as it is devastating in its implications.
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Place four copies of the right-angled triangle on top of this surface. The square that you now see has sides equal to the hypotenuse of the triangle. By sliding these triangles around, we see how we can break the area of the large square up into the sum of two smaller squares, whose sides are given by the two short sides of the triangle. In other words, the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the other sides. Pythagoras' theorem. It illustrates one of the characteristic themes of Greek mathematics - the appeal to beautiful arguments in geometry rather than a reliance on number. Pythagoras may have fallen out of favour and many of the discoveries accredited to him have been contested recently, but there's one mathematical theory that I'm loath to take away from him. It's to do with music and the discoveryof the harmonic series. The story goes that, walking past a blacksmith's one day, Pythagoras heard anvils being struck,
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and noticed how the notes being produced sounded in perfect harmony. He believed that there must be some rational explanation to make sense of why the notes sounded so appealing. The answer was mathematics. Experimenting with a stringed instrument, Pythagoras discovered that the intervals between harmonious musical notes were always represented as whole-number ratios. And here's how he might have constructed his theory. First, play a note on the open string. MAN PLAYS NOTE Next, take half the length. The note almost sounds the same as the first note. In fact it's an octave higher, but the relationship is so strong, we give these notes the same name. Now take a third the length. We get another note which sounds harmonious next to the first two, but take a length of string which is not in a whole-number ratio and all we get is dissonance. According to legend, Pythagoras was so excited by this discovery that he concluded the whole universe was built from numbers.
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But he and his followers were in for a rather unsettling challenge to their world view and it came about as a result of the theorem which bears Pythagoras' name. Legend has it, one of his followers, a mathematician called Hippasus, set out to find the length of the diagonal for a right-angled triangle with two sides measuring one unit. Pythagoras' theorem implied that the length of the diagonal was a number whose square was two. The Pythagoreans assumed that the answer would be a fraction, but when Hippasus tried to express it in this way, no matter how he tried, he couldn't capture it. Eventually he realised his mistake. It was the assumption that the value was a fraction at all which was wrong. The value of the square root of two was the number that the Babylonians etched into the Yale tablet. However, they didn't recognise the special character of this number. But Hippasus did. It was an irrational number.
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The discovery of this new number, and others like it, is akin to an explorer discovering a new continent, or a naturalist finding a new species. But these irrational numbers didn't fit the Pythagorean world view. Later Greek commentators tell the story of how Pythagoras swore his sect to secrecy, but Hippasus let slip the discovery and was promptly drowned for his attempts to broadcast their research. But these mathematical discoveries could not be easily suppressed. Schools of philosophy and science started to flourish all over Greece, building on these foundations. The most famous of these was the Academy. Plato founded this school in Athens in 387 BC. Although we think of him today as a philosopher, he was one of mathematics' most important patrons. Plato was enraptured by the Pythagorean world view and considered mathematics the bedrock of knowledge. Some people would say that Plato is the most influential figure
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for our perception of Greek mathematics. He argued that mathematics is an important form of knowledge and does have a connection with reality. So by knowing mathematics, we know more about reality. In his dialogue Timaeus, Plato proposes the thesis that geometry is the key to unlocking the secrets of the universe, a view still held by scientists today. Indeed, the importance Plato attached to geometry is encapsulated in the sign that was mounted above the Academy, "Let no-one ignorant of geometry enter here." Plato proposed that the universe could be crystallised into five regular symmetrical shapes. These shapes, which we now call the Platonic solids, were composed of regular polygons, assembled to create three-dimensional symmetrical objects. The tetrahedron represented fire. The icosahedron, made from 20 triangles, represented water. The stable cube was Earth.
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The eight-faced octahedron was air. And the fifth Platonic solid, the dodecahedron, made out of 12 pentagons, was reserved for the shape that captured Plato's view of the universe. Plato's theory would have a seismic influence and continued to inspire mathematicians and astronomers for over 1,500 years. In addition to the breakthroughs made in the Academy, mathematical triumphs were also emerging from the edge of the Greek empire, and owed as much to the mathematical heritage of the Egyptians as the Greeks. Alexandria became a hub of academic excellence under the rule of the Ptolemies in the 3rd century BC, and its famous library soon gained a reputation to rival Plato's academy. The kings of Alexandria were prepared to invest in the arts and culture, in technology, mathematics, grammar, because patronage for cultural pursuits
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was one way of showing that you were a more prestigious ruler, and had a better entitlement to greatness. The old library and its precious contents were destroyed when the Muslims conquered Egypt in the 7th Century. But its spirit is alive in a new building. Today, the library remains a place of discovery and scholarship. Mathematicians and philosophers flocked to Alexandria, driven by their thirst for knowledge and the pursuit of excellence. The patrons of the library were the first professional scientists, individuals who were paid for their devotion to research. But of all those early pioneers, my hero is the enigmatic Greek mathematician Euclid. We know very little about Euclid's life, but his greatest achievements were as a chronicler of mathematics. Around 300 BC, he wrote the most important text book of all time - The Elements. In The Elements, we find the culmination of the mathematical revolution
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which had taken place in Greece. It's built on a series of mathematical assumptions, called axioms. For example, a line can be drawn between any two points. From these axioms, logical deductions are made and mathematical theorems established. The Elements contains formulas for calculating the volumes of cones and cylinders, proofs about geometric series, perfect numbers and primes. The climax of The Elements is a proof that there are only five Platonic solids. For me, this last theorem captures the power of mathematics. It's one thing to build five symmetrical solids, quite another to come up with a watertight, logical argument for why there can't be a sixth. The Elements unfolds like a wonderful, logical mystery novel. But this is a story which transcends time. Scientific theories get knocked down, from one generation to the next, but the theorems in The Elements are as true today as they were 2,000 years ago.
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When you stop and think about it, it's really amazing. It's the same theorems that we teach. We may teach them in a slightly different way, we may organise them differently, but it's Euclidean geometry that is still valid, and even in higher mathematics, when you go to higher dimensional spaces, you're still using Euclidean geometry. Alexandria must have been an inspiring place for the ancient scholars, and Euclid's fame would have attracted even more eager, young intellectuals to the Egyptian port. One mathematician who particularly enjoyed the intellectual environment in Alexandria was Archimedes. He would become a mathematical visionary. The best Greek mathematicians, they were always pushing the limits, pushing the envelope. So, Archimedes... did what he could with polygons, with solids. He then moved on to centres of gravity. He then moved on to the spiral.
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This instinct to try and mathematise everything is something that I see as a legacy. One of Archimedes' specialities was weapons of mass destruction. They were used against the Romans when they invaded his home of Syracuse in 212 BC. He also designed mirrors, which harnessed the power of the sun, to set the Roman ships on fire. But to Archimedes, these endeavours were mere amusements in geometry. He had loftier ambitions. Archimedes was enraptured by pure mathematics and believed in studying mathematics for its own sake and not for the ignoble trade of engineering or the sordid quest for profit. One of his finest investigations into pure mathematics was to produce formulas to calculate the areas of regular shapes. Archimedes' method was to capture new shapes by using shapes he already understood. So, for example, to calculate the area of a circle,
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he would enclose it inside a triangle, and then by doubling the number of sides on the triangle, the enclosing shape would get closer and closer to the circle. Indeed, we sometimes call a circle a polygon with an infinite number of sides. But by estimating the area of the circle, Archimedes is, in fact, getting a value for pi, the most important number in mathematics. However, it was calculating the volumes of solid objects where Archimedes excelled. He found a way to calculate the volume of a sphere by slicing it up and approximating each slice as a cylinder. He then added up the volumes of the slices to get an approximate value for the sphere. But his act of genius was to see what happens if you make the slices thinner and thinner. In the limit, the approximation becomes an exact calculation. But it was Archimedes' commitment to mathematics that would be his undoing. Archimedes was contemplating a problem about circles traced in the sand.
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When a Roman soldier accosted him, Archimedes was so engrossed in his problem that he insisted that he be allowed to finish his theorem. But the Roman soldier was not interested in Archimedes' problem and killed him on the spot. Even in death, Archimedes' devotion to mathematics was unwavering. By the middle of the 1st Century BC, the Romans had tightened their grip on the old Greek empire. They were less smitten with the beauty of mathematics and were more concerned with its practical applications. This pragmatic attitude signalled the beginning of the end for the great library of Alexandria. But one mathematician was determined to keep the legacy of the Greeks alive. Hypatia was exceptional, a female mathematician, and a pagan in the piously Christian Roman empire. Hypatia was very prestigious and very influential in her time. She was a teacher with a lot of students, a lot of followers.
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She was politically influential in Alexandria. So it's this combination of... high knowledge and high prestige that may have made her a figure of hatred for... the Christian mob. One morning during Lent, Hypatia was dragged off her chariot by a zealous Christian mob and taken to a church. There, she was tortured and brutally murdered. The dramatic circumstances of her life and death fascinated later generations. Sadly, her cult status eclipsed her mathematical achievements. She was, in fact, a brilliant teacher and theorist, and her death dealt a final blow to the Greek mathematical heritage of Alexandria. My travels have taken me on a fascinating journey to uncover the passion and innovation of the world's earliest mathematicians. It's the breakthroughs made by those early pioneers of Egypt, Babylon and Greece
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that are the foundations on which my subject is built today. But this is just the beginning of my mathematical odyssey. The next leg of my journey lies east, in the depths of Asia, where mathematicians scaled even greater heights in pursuit of knowledge. With this new era came a new language of algebra and numbers, better suited to telling the next chapter in the story of maths. You can learn more about the story of maths with the Open University at...

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