BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

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Language: ZH-HANS

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我们的世界是由模式和序列组成的。 他们都在我们身边。 白天变成黑夜。 动物以不断变化的形态穿越地球。 景观在不断变化。 数学开始的原因之一是因为我们需要找到一种 理解这些自然模式的方法。 数学的最基本概念-空间和数量- 扎根于我们的大脑。 甚至动物也有距离和数量感,可以 评估它们的背包何时超过数量,以及是否战斗或飞行,并 计算其猎物是否在惊人的距离之内。 了解数学是生与死之间的区别。 但是只有这些人接受了这些基本概念, 并开始在这些基础上进行构建。 在某个时候,人类开始发现模式, 建立联系,计数并命令周围的世界。
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这样,一个全新的数学世界开始出现。 这就是尼罗河。 几千年来,它一直是埃及的生命线。 我之所以来到这里,是因为它 是我们今天所知道的 一些 数学 的最初标志 。 人们放弃了游牧生活,早在公元前6000年就开始在此定居。 条件非常适合耕种。 每年埃及农业最重要的事件是尼罗河水灾。 因此,这被用作每个新的一年的标记。 埃及人确实记录了一段时间内发生的事情, 因此,要建立这样的日历, 您需要计算 月球相之间发生 了多少天,例如 两次洪水之间发生了多少天。尼罗河。 记录季节的模式 不仅对他们的土地管理 至关重要, 而且对他们的宗教信仰也 至关重要 。
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定居在尼罗河岸边的古埃及人 认为,每年河水泛滥的是河神哈比。 为了换取生命之水, 市民们将部分产量作为感恩节。 随着定居点的扩大,有必要找到管理这些定居点的方法。 需要计算土地面积,预测作物产量, 收取和整理税收。 简而言之,人们需要数数和衡量。 埃及人用他们的身体来测量世界, 这就是他们的测量单位如何演变的过程。 手掌是手的宽度, 肘部是从肘部到指尖的臂长。 法老的测量师使用 土地肘尺(土地条数为100肘尺) 计算面积。 官僚主义 与古埃及的数学发展 之间有着非常紧密的联系 。 从一开始, 从数字系统的发明到 整个埃及历史,
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我们都可以真正看到这一联系 。 对于旧王国,我们仅有的证据 是计量系统,即面积和长度的度量。 这表明需要发展这种东西的官僚主义。 了解农民土地的面积至关重要,以便可以对他征税。 或者,如果尼罗河抢夺了他的部分土地,那么他可以要求退税。 这意味着法老的测量员经常在计算 不规则土地的面积。 解决此类实际问题的 需要使他们成为最早的数学创新者。 埃及人需要某种方式来记录他们的计算结果。 在覆盖开罗各地旅游纪念品的所有象形文字中, 我正在寻找那些记录了历史上第一个数字 的象形文字 。 他们很难追查。 但是我确实找到了他们。 埃及人使用十进制系统,这是由我们的十个手指驱动的。
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一个的标志是中风, 10,脚跟骨,100,一卷绳子和1000,莲花。 这件T恤多少钱? 嗯,25. 25!是的!那将是2膝骨和5招。 所以你不会在这里向我收取任何费用吗?这里,一百万! 一百万?我的天哪! 这一百万。 一百万,是的,这相当大! 象形文字很漂亮,但是埃及数字系统从根本上来说是有缺陷的。 他们没有位值的概念, 因此一个笔划只能代表一个单位, 而不是100或1,000。 尽管您可以只用一个字符 而不是我们使用的七个 字符 来写一百万,但如果您想写一百万减去 一个字符, 那么这位可怜的老埃及抄写员必须写九笔, 九根脚跟,九圈绳,依此类推, 总共54个字符。 尽管此数字系统有缺点,但埃及人还是出色的问题解决者。
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我们知道这是因为幸存下来的记录很少。 埃及抄写员使用纸莎草纸 记录他们的数学发现。 这种由芦苇制成的精致材料会随着时间的流逝 而 腐烂 ,许多秘密随之消失。 但是,有一个具有启发性的文件仍然存在。 Rhind数学纸莎草纸是 我们今天拥有的关于埃及数学 的最重要文件 。 我们很好地概述 了埃及人将在数学中处理 哪些类型的问题 。 我们还明确指出了如何进行乘法和除法。 纸莎草纸展示了如何将两个大数相乘。 但是为了说明该方法,让我们取两个较小的数字。 让我们做六遍三遍。 抄写员将第一个数字(三个)放在一栏中。 在第二栏中,他将排名第一。 然后,他会将每列中的数字加倍,因此三个变成六个……
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然后 六个将变成12。 然后在第二列中,一个变成两个, 而两个变成四个。 现在,这是真正的聪明之处。 抄写员想将三乘以六。 因此,他在第二栏中采用了2的幂, 加起来等于6。那是二加四。 然后,他移回第一列,并仅获取 对应于第二和第四行的那些行。 所以分别是6和12。 他将它们加起来得到18的答案。 但是对我来说,这种方法最引人注目的 是抄写员有效地用二进制写了第二个数字。 六是四的一,二的一无单位。 这是1-1-0。 在数学家和哲学家莱布尼兹(Leibniz)揭示其潜能之前, 埃及人已经了解了3000多年的二进制力量 。 今天,整个技术世界都依赖 于古埃及使用 的相同原理 。
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Rhind Papyrus由一位名叫Ahmes的抄写员于1650BC左右录制。 它的问题与寻找日常情况的解决方案有关。 其中一些问题涉及面包和啤酒, 这并不奇怪,因为埃及工人在食物和饮料方面获得报酬。 一个人关心的是如何 在不打架的情况下 将9条面包 平均分配给10个人。 我这里有九个面包。 我要把它们中的五个切成两半。 当然,有九个人可以从面包上削掉十分之一,然后将面包 屑交给第十个人。 但是埃及人提出了一个更为优雅的解决方案- 将接下来的四个分解为三分之二。 但是我现在要把三分之二切成五分之一, 所以每张将是十五分之一。 然后,每个人获得一半 ,三分之一 和十五分之一。
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通过这些看似实际的问题 ,我们开始看到更加抽象的数学的发展。 突然之间,出现了新的数字-分数- 不久之后埃及人开始探索这些数字的数学方法。 分数对于任何将数量划分为市场交易的人都具有实际重要性。 为了记录这些交易,埃及人开发了记录这些新数字的符号。 这些分数的最早代表之一 来自象形文字,它具有极大的神秘意义。 它被称为荷鲁斯之眼。 荷鲁斯是一位古老的王国神,被描述为一半的人,一半的猎鹰。 根据传说,荷鲁斯的父亲被他的另一个儿子塞思(Seth)杀害。 荷鲁斯决心为谋杀报仇。 在一场特别激烈的战斗中, 塞思撕开了荷鲁斯的眼睛,将其撕裂并散布在埃及上空。 但是众神在荷鲁斯身上看好了。
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他们收集了散落的碎片,重新组装了眼睛。 眼睛的每个部分代表不同的部分。 每个一个,一半的分数。 尽管原始眼睛代表整个单元, 但重新组装的眼睛短了1/64。 尽管埃及人停在1/64,但 此图中暗含 的可能性是增加更多的分数, 每次将其减半,总和越来越接近一个, 但从未完全达到。 这是所谓的几何级数的第一个提示, 它出现在Rhind Papyrus中的许多点上。 但是, 直到几百年后亚洲的数学家发现 了无限级数的概念, 它才被 隐藏起来 。 建立了包括这些新分数在内的数字系统之后, 埃及人便该将他们的知识 应用于理解他们日常遇到的形状。 这些形状很少是规则的正方形或矩形,
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在Rhind纸莎草纸中,我们发现了更有机的形状区域,即圆形。 实际上,在计算 圆面积时 令人吃惊的 是它的精确性。 他们如何找到自己的方法尚有待猜测, 因为我们所获得的文字 并未向我们展示如何找到它们的方法。 这种计算特别引人注目,因为它取决于 观察圆形如何 通过埃及人已经理解的形状来近似。 Rhind纸莎草纸指出, 直径为9个单位 的圆形场的 面积接近侧面为8个的正方形。 但是如何发现这种关系呢? 我最喜欢的理论在古老的曼卡拉游戏中找到了答案。 发现曼卡拉板刻在寺庙的屋顶上。 每个玩家都以相等数量的石头开始, 游戏的目的是将它们绕板移动
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,在途中捕获对手的指示物。 当球员们围坐在旁边等待下一步行动时, 也许其中一个人意识到有时球会 以一种相当不错的方式 填充 到Mancala板上 的圆形孔 中。 他可能继续尝试做更大的圈子。 也许他注意到64块石头,即8的正方形, 可以用来制作一个直径为9块石头的圆。 通过重新排列石头,圆已近似为一个正方形。 由于圆的面积是pi乘以半径平方的乘积, 因此埃及计算得出pi的第一个准确值。 圆的面积为64。将其除以半径平方, 在本例中为4.5平方,即可得到pi的值。 因此,将64除以4.5的平方即为3.16, 距离其真实价值仅不到百分之二十分。 但真正的妙处是,埃及人 正在使用这些较小的形状来捕获较大的形状。
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但是, 我们尚未尝试揭开 埃及 数学的 气势雄伟的象征 - 金字塔。 我看过太多照片,简直不敢相信我会对它们印象深刻。 但是与他们面对面地交流,您会理解为什么他们被称为 古代世界七大奇观之一。 他们简直令人叹为观止。 当 它们 的侧面像玻璃一样光滑,反射出沙漠的阳光时 ,他们 在当下 一定会给人留下深刻的印象 。 在我看来,沙漠下面可能有金字塔形的镜子, 它将完整的形状制成完美 对称的 八面体。 有时,在沙漠酷热的微光中,您几乎可以看到这些形状。 隐藏在这些形状中的对称性暗示使它们对于数学家而言如此令人印象深刻。 金字塔距离创建这些完美的形状还差一点, 但是有些人建议,另一个重要的数学概念 可能隐藏在大金字塔的比例中-黄金比例。
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如果最长 和最短 的关系 与最长边和最短边的总和相同 ,则两个长度为黄金比例 。 这样的比例与人们 在自然界 找到的完美比例 以及 几千年 的艺术家, 建筑师和设计师 的作品有关 。 金字塔的建筑师是意识到这个重要的数学概念, 还是因为其令人满意的美学特性而被本能吸引,我们永远不会知道。 对我来说,关于金字塔症的最令人印象深刻的事就是 使它们成 数学的光辉 ,包括 对古代世界最伟大的定理之一毕达哥拉斯定理 的第一次认识 。 为了在建筑物 和金字塔 上获得完美的直角 ,埃及人会使用绑有结的绳索。 在某个时候,埃及人意识到,如果他们采取一个三角形,其侧面 标有三个结,四个结和五个结,则可以保证它们完美的直角。
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这是因为三个平方加上四个平方等于五个平方。 因此,我们有了一个完美的勾股三角。 实际上,任何边满足此关系的三角形都会给我90度角。 但是我很确定埃及人没有 对他们的3、4、5三角形进行全面的概括。 我们不会期望找到一般的证明, 因为这不是埃及数学的风格。 使用具体数字解决了每个问题,然后 如果最后进行验证,则将使用结果, 并且 使用 这些给定的具体数字, 埃及数学文本中没有通用的证明。 希腊人和毕达哥拉斯 要证明所有直角三角形都具有某些特性 大约需要2,000年 。 这不是埃及人所期望的唯一数学思想。 在一份有4,000年历史的文档中,《莫斯科纸莎草纸》中,我们找到了 一个金字塔
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的体积公式 ,其峰顶被切掉,这显示了微积分在起作用的第一个提示。 对于像埃及这样以金字塔闻名的文化,您会希望像这样的问题 在数学教科书中经常出现。 根据 我们从古代埃及 获得的现代数学标准, 计算截顶金字塔的体积是最 高级的位 之一 。 建筑师和工程师当然希望使用这样的公式 来计算制造它所需的材料量。 但这 是埃及数学 精巧 的 标志, 因为它们能够产生如此精美的方法。 要了解他们是如何得出公式的,请先 构建 一个金字塔 ,使最高点直接位于一个角上。 其中的三个可以放在一起制成一个矩形盒子, 所以斜金字塔的体积是盒子的三分之一。
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也就是说,高度乘以长度乘以宽度除以三。 现在有一个论点,它显示了演算的最初暗示,距 戈特弗里德·莱布尼兹和艾萨克·牛顿提出这一理论已有数千年了。 假设您可以将金字塔切成薄片,然后滑动 图层以使吉萨金字塔更加对称。 但是,尽管重新排列了金字塔,金字塔的体积并没有改变。 因此,相同的公式有效。 埃及人是出色的创新者, 他们创造新数学的能力令人震惊。 对我来说,他们揭示了几何和数字的力量,并迈出了 一些令人兴奋的数学发现 的第一步 。 但是,还有另一种文明可以在数学上与埃及媲美。 我们对他们的成就了解更多。 这是大马士革,已有5,000多年的历史了,
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今天仍然充满活力。 它曾经是将旧的美索不达米亚与埃及连接起来的贸易路线上最重要的一点。 从公元前1800年开始,巴比伦人控制了现代伊拉克,伊朗和叙利亚的大部分地区。 为了扩展和管理自己的帝国,他们成为了数字管理和操纵的大师。 例如,我们有法律法规,可以告诉我们 有关社会秩序的方式。 我们最了解的人是文士, 他们是为富裕的家庭以及庙宇和宫殿保存记录 的专业文盲 和 计算专家 。 抄写员学校存在于大约公元前2500年。 有抱负的抄写员从小就被送到那里,并学习了如何阅读,写作和使用数字。 抄写员的记录保存在泥板上, 这使巴比伦人得以管理和发展自己的帝国。 但是,我们今天拥有的许多平板电脑不是官方文件,而是儿童习作。
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正是这些不大可能的遗迹使我们对巴比伦人如何进行数学有了难得的见解。 因此,这是一本大约在公元前18世纪的几何教科书。 希望您能看到上面有很多图片。 在每张图片的下面都有一个文字,它设置了有关图片的问题。 例如,这里说的是,我画了一个正方形,长60个单位, 在里面,我画了四个圆圈-他们的面积是多少? 这里的这个小平板电脑的书写时间至少比这里的平板电脑晚了1000年, 但是有着非常有趣的关系。 它也有四个圆形 的正方形粗略画出的 圆圈 ,但这不是教科书,而是学校的习题。 正在教学生的成人抄写员 作为完成作业或类似工作的示例。 像埃及人一样,巴比伦人似乎对 解决与测量和称重 有关 的实际问题 很感兴趣 。
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解决这些问题的巴比伦解决方案就像数学食谱一样。 抄写员只需遵循并记录一组说明即可得出结果。 这是他们要解决的这类问题的示例。 我这里有一捆肉桂棒,但我不会称重。 取而代之的是,我将其重量增加四倍,并将其添加到体重秤中。 现在我要加20杜松子酒。杜松子酒是古老的巴比伦重量度量。 我要把这里的所有东西都拿走一半,然后再次添加... 那是两捆,十杜松子酒。 这边的一切都等于一个法力值。一法力是60杜松子酒。 在这里,我们有了历史上最早的数学方程式之一, 这边的一切都等于一个法力值。 但是那捆肉桂棒重多少? 没有任何代数语言,他们就可以操纵 数量来证明肉桂棒重达5杜松子酒。
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在我看来,正是这种问题使数学有些不好意思。 您可以将您在学校遇到的所有曲折问题归咎于那些古老的巴比伦人。 但是古代的巴比伦文士在这种问题上表现出色。 有趣的是,他们没有像埃及人那样使用10的幂,而是使用60 的 幂。 巴比伦人像埃及人一样,是通过手指发明了他们的数字系统。 但是, 巴比伦人没有 通过手指上的十个手指来计数,而是 找到了一种更有趣的方法来计数身体部位。 他们一方面使用12个指关节,另一方面 使用5个手指来计数 12乘5,即60个不同的数字。 因此,举例来说,这个数字本来应该是2手12、24, 然后是1、2、3、4、5,从而得出29。 数字60具有另一个强大的属性。 它可以通过多种方式完美地划分。 这是60粒豆。 我可以将它们排列成30 行的
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2行 。20 行的 3行 。15行的 5行。12 行的6行或10行的6行。 除数60使它成为进行算术的理想基础。 Base 60系统非常成功,今天我们仍然使用它的元素。 每次我们想说出时间时,我们便会识别 每分钟60-60秒的 单位, 每小时一小时60分钟的单位。 但是,巴比伦人数制的最重要特征是它认识到地方价值。 就像我们的十进制数字计算您正在记录的数十,数百和数千个 数字一样,每个巴比伦数字的位置也记录了60的幂。 他们不会写出 越来越大的数字的新符号,而是 会写1-1- 1,因此该数字将为3,661。 这一发现的催化剂是巴比伦人渴望绘制夜空路线的愿望。 巴比伦人的日历基于月亮的周期。
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他们需要一种记录天文数字的方法。 逐月,逐年记录这些周期。 从大约公元前800年开始,有完整的月蚀清单。 巴比伦的测量系统当时相当复杂。 他们有一个角度测量系统, 整个圆周360度,每个 角度 分为 60分钟,一分钟又分为60秒。 因此,他们有一个常规的测量系统,并且与他们的数字系统完美协调, 因此它不仅非常适合观察,而且非常适合计算。 但是为了计算和处理这些大数字, 巴比伦人需要发明一个新的符号。 这样,他们 为数学史上 的重大 突破之一-零 奠定了基础 。 在早期,巴比伦人为了在 数字中间 标记一个空白处 ,只会留下一个空白。
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因此,他们需要一种在数字中间什么都不表示的方法。 因此,他们使用了一个符号(作为一种呼吸标记)和一个标点符号,该符号 在数字中间表示零。 这是数学世界中第一次以任何形式出现零。 但是,这个小小的占位符要成为一个数字,要经过一千多年。 建立了如此精密的数字系统后, 他们利用它来驯服遍及美索不达米亚的干旱荒凉的土地。 巴比伦的工程师和测量师发现了 获取水并将其引导到农田的 巧妙方法 。 再一次,他们使用数学来提出解决方案。 叙利亚的奥龙特斯山谷仍然是农业枢纽, 如今,与数千年前一样,如今 仍在使用 古老的灌溉方法。
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巴比伦数学 中的 许多问题 都与土地测量有关,这是我们第一次 在 这里看到 二次方程式的使用,这是巴比伦数学的最大遗产之一。 二次方程式涉及 您要识别 的未知量 与其自身相乘的 事物 。 之所以称其为平方,是因为它给出了一个正方形的面积, 并且在计算土地面积的背景下, 这些二次方程自然而然地产生了。 这是一个典型的问题。 如果一个字段的面积为55个单位, 并且一侧比另一侧长6个单位, 那么较短的一侧要多长时间? 巴比伦的解决方案是将字段重新配置为正方形。 从末端切下三个单位 并移动此回合。 现在,缺少了三乘三的零件,所以我们将其添加进去。 场地面积增加了九个单位。
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这将使新区域成为64。 因此,正方形的边为8个单位。 问题解决者知道他们在这一方面增加了三个。 因此,原始长度必须为5。 它可能看起来不像它,但这是历史上最早的二次方程式之一。 在现代数学中,我将使用代数的符号语言来解决此问题。 巴比伦人的一项壮举是,他们使用这些几何游戏来寻找价值, 而没有任何符号或公式。 巴比伦人为自己着想解决问题。 他们爱上了数学。 巴比伦人对数字的迷恋也很快在他们的闲暇时间中找到了位置。 他们是狂热的游戏玩家。 巴比伦人及其子孙玩 五子棋已有5000多年的历史。 巴比伦人玩棋盘游戏, 从皇家陵墓中非常豪华的棋盘游戏到学校发现的少量棋盘游戏,
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再到在宫殿入口处刮擦的棋盘游戏, 这样看守人在无聊时一定会玩, 并且使用骰子移动他们的柜台。 玩游戏的人在闲暇时间使用数字来试图击败对手, 非常快地进行心算, 因此他们在闲暇时间进行计算, 甚至没有将其视为数学上的努力。 现在是我的机会。 ”我已经很久没有玩西洋双陆棋了,但是我认为我的数学会给我一次战斗的机会。” 取决于您。六...我需要移动一些东西。 “但这并不像我想的那么容易。” 啊!这是什么东西? 是的,这是一,这是二。 现在你有麻烦了。 所以我什么也不能动。您不能移动这些。 哦,天哪。 妳去 三四 “就像古代的巴比伦人一样,我的对手是战术数学的大师。”
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是的 放在那里好游戏。 巴比伦人被认为是最早 使用对称数学形状制作骰子的 文化之一 , 但是关于它们是否也可能 是最早发现另一种重要形状的秘密的 争论更加激烈 。 直角三角形。 我们已经看到埃及人如何使用3-4-5直角三角形。 但是巴比伦人对这种形状以及其他类似形状的了解要复杂得多。 这是我们拥有的最著名和最具争议的古代碑。 它被称为Plimpton322。 许多数学家相信,这表明巴比伦人 很可能已经知道直角三角形的原理, 对角线的正方形是边上的正方形的总和, 并且在希腊人宣称它是几个世纪之前就知道了。 这可以说是最著名的巴比伦碑, 即Plimpton 322 的副本, 此处的这些数字反映了三角形的宽度或高度,
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即对角线,另一边在此处, 并且此列的正方形加上此列中数字 的平方等于对角线的平方。 它们在 非常均匀的基础上以 逐渐减小的角度顺序排列,这 表明有人 对数字如何组合有很多了解。 这里有15个完美的毕达哥拉斯三角形,它们的边均具有整数长度。 人们很容易想到巴比伦人是毕达哥拉斯定理的第一批保管人, 并且得出结论说,几代历史学家被这一事实所吸引。 但是, 对于满足毕达哥拉斯定理的三个数的集合, 可能有一个更简单的解释 。 这不是毕达哥拉斯三元组的系统解释,它只是 一位数学老师在做一些相当复杂的计算, 但是为了产生一些非常简单的数字,
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以便为他的学生设置有关直角三角形的问题, 从某种意义上讲,它是关于毕达哥拉斯仅是三倍。 他们了解的最有价值的线索可能在其他地方。 这款小型学校运动平板电脑已有近4,000年的历史 ,它揭示了巴比伦人对直角三角形的了解。 它使用毕达哥拉斯(Pythagoras)定理的原理来找到令人震惊的新数字的值。 沿对角线绘制的确非常好地近似于2的平方根, 因此向我们展示了它在学校环境中是已知的并已被使用。 为什么这么重要? 因为二的平方根现在就是我们所称的无理数, 也就是说,如果我们以小数或什至是十六进制的形式写出来, 它就不会结束,所以数字永远在小数点后一直存在。
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这种计算的意义是深远的。 首先,这意味着巴比伦人比毕达哥拉斯 早1000年 就知道毕达哥拉斯定理 。 其次,他们可以计算出精确到小数点后四位的数字这一事实 表明了一种惊人的算术功能,以及对数学细节的热情。 巴比伦人的数学技巧令人震惊, 近2000年以来,他们带头推动了古代世界的思想进步。 但是,当他们的帝国力量开始减弱时,他们的思想活力也随之减弱。 到公元前330年,希腊人将其帝国势力扩展到了老美索不达米亚。 这是叙利亚中部的巴尔米拉(Palmyra),这是希腊人一度曾建的伟大城市。 建立具有如此几何完美状态的结构所需的数学专业知识令人印象深刻。 就像他们之前的巴比伦人一样,希腊人对数学充满热情。
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希腊人是聪明的殖民者。 他们从入侵的文明中汲取 了最大的力量来发展自己的力量和影响力, 但他们很快就做出了自己的贡献。 在我看来,他们最大的创新就是改变观念。 他们发起的行动将影响人类几个世纪。 他们给了我们证明的力量。 他们以某种方式决定必须为数学建立一个演绎系统, 典型的演绎系统是从某些公理开始的,您认为这是对的。 就像您假设某个定理是正确的而没有证明它一样。 然后,使用逻辑方法和非常谨慎的步骤, 从这些公理中证明了定理 ,从这些定理中证明了更多定理,而这只是雪球。 证明是赋予数学力量的原因。 这是力量或证明,这意味着希腊人的发现 今天与2000年前一样真实。
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我需要向西进入古希腊帝国的心脏地带,以了解更多信息。 对我而言,希腊数学一直是英雄和浪漫主义。 我正在前往萨摩斯岛(Samos),距土耳其海岸不到一英里。 这个地方已经成为希腊数学诞生的代名词,这取决于 一个人的传说。 他叫毕达哥拉斯。 围绕他的生活和工作的传奇故事 为他在过去2,000年中获得的名人地位 做出了贡献 。 无论是对是错,他都被认为是正确的,他开始了 从数学作为会计工具到如今我们认识的分析学科 的转变 。 毕达哥拉斯是一个有争议的人物。 因为他没有留下任何数学著作,所以许多人质疑 他是否确实解决了归因于他的任何定理。 他于公元前六世纪在萨摩斯岛创办了一所学校, 但他的教were被认为是可疑的,而勾股勾股是一个离奇的教派。
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有充分的证据表明,有毕达哥拉斯的学校, 他们看起来更像是宗派,而不是我们与哲学学校建立的宗派, 因为它们不仅分享知识,而且分享生活方式。 可能有集体生活,他们似乎都 参与了其城市的政治活动。 使她们在古代世界中与众不同的一个特征是她们中包括女性。 但是毕达哥拉斯是理解埃及人和巴比伦人所无法理解的东西的代名词 -直角三角形的性质。 毕达哥拉斯定理 指出,如果采用任何直角三角形, 在所有边上都建立正方形,则最大正方形的面积 等于两个较小边上的正方形的总和。 It's at this point for me that mathematics is born and a gulf opens up between the other sciences, and the proof is as simple as it is devastating in its implications.
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Place four copies of the right-angled triangle on top of this surface. The square that you now see has sides equal to the hypotenuse of the triangle. By sliding these triangles around, we see how we can break the area of the large square up into the sum of two smaller squares, whose sides are given by the two short sides of the triangle. In other words, the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the other sides. Pythagoras' theorem. It illustrates one of the characteristic themes of Greek mathematics - the appeal to beautiful arguments in geometry rather than a reliance on number. Pythagoras may have fallen out of favour and many of the discoveries accredited to him have been contested recently, but there's one mathematical theory that I'm loath to take away from him. It's to do with music and the discoveryof the harmonic series. The story goes that, walking past a blacksmith's one day, Pythagoras heard anvils being struck,
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and noticed how the notes being produced sounded in perfect harmony. He believed that there must be some rational explanation to make sense of why the notes sounded so appealing. The answer was mathematics. Experimenting with a stringed instrument, Pythagoras discovered that the intervals between harmonious musical notes were always represented as whole-number ratios. And here's how he might have constructed his theory. First, play a note on the open string. MAN PLAYS NOTE Next, take half the length. The note almost sounds the same as the first note. In fact it's an octave higher, but the relationship is so strong, we give these notes the same name. Now take a third the length. We get another note which sounds harmonious next to the first two, but take a length of string which is not in a whole-number ratio and all we get is dissonance. According to legend, Pythagoras was so excited by this discovery that he concluded the whole universe was built from numbers.
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But he and his followers were in for a rather unsettling challenge to their world view and it came about as a result of the theorem which bears Pythagoras' name. Legend has it, one of his followers, a mathematician called Hippasus, set out to find the length of the diagonal for a right-angled triangle with two sides measuring one unit. Pythagoras' theorem implied that the length of the diagonal was a number whose square was two. The Pythagoreans assumed that the answer would be a fraction, but when Hippasus tried to express it in this way, no matter how he tried, he couldn't capture it. Eventually he realised his mistake. It was the assumption that the value was a fraction at all which was wrong. The value of the square root of two was the number that the Babylonians etched into the Yale tablet. However, they didn't recognise the special character of this number. But Hippasus did. It was an irrational number.
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The discovery of this new number, and others like it, is akin to an explorer discovering a new continent, or a naturalist finding a new species. But these irrational numbers didn't fit the Pythagorean world view. Later Greek commentators tell the story of how Pythagoras swore his sect to secrecy, but Hippasus let slip the discovery and was promptly drowned for his attempts to broadcast their research. But these mathematical discoveries could not be easily suppressed. Schools of philosophy and science started to flourish all over Greece, building on these foundations. The most famous of these was the Academy. Plato founded this school in Athens in 387 BC. Although we think of him today as a philosopher, he was one of mathematics' most important patrons. Plato was enraptured by the Pythagorean world view and considered mathematics the bedrock of knowledge. Some people would say that Plato is the most influential figure
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for our perception of Greek mathematics. He argued that mathematics is an important form of knowledge and does have a connection with reality. So by knowing mathematics, we know more about reality. In his dialogue Timaeus, Plato proposes the thesis that geometry is the key to unlocking the secrets of the universe, a view still held by scientists today. Indeed, the importance Plato attached to geometry is encapsulated in the sign that was mounted above the Academy, "Let no-one ignorant of geometry enter here." Plato proposed that the universe could be crystallised into five regular symmetrical shapes. These shapes, which we now call the Platonic solids, were composed of regular polygons, assembled to create three-dimensional symmetrical objects. The tetrahedron represented fire. The icosahedron, made from 20 triangles, represented water. The stable cube was Earth.
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The eight-faced octahedron was air. And the fifth Platonic solid, the dodecahedron, made out of 12 pentagons, was reserved for the shape that captured Plato's view of the universe. Plato's theory would have a seismic influence and continued to inspire mathematicians and astronomers for over 1,500 years. In addition to the breakthroughs made in the Academy, mathematical triumphs were also emerging from the edge of the Greek empire, and owed as much to the mathematical heritage of the Egyptians as the Greeks. Alexandria became a hub of academic excellence under the rule of the Ptolemies in the 3rd century BC, and its famous library soon gained a reputation to rival Plato's academy. The kings of Alexandria were prepared to invest in the arts and culture, in technology, mathematics, grammar, because patronage for cultural pursuits
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was one way of showing that you were a more prestigious ruler, and had a better entitlement to greatness. The old library and its precious contents were destroyed when the Muslims conquered Egypt in the 7th Century. But its spirit is alive in a new building. Today, the library remains a place of discovery and scholarship. Mathematicians and philosophers flocked to Alexandria, driven by their thirst for knowledge and the pursuit of excellence. The patrons of the library were the first professional scientists, individuals who were paid for their devotion to research. But of all those early pioneers, my hero is the enigmatic Greek mathematician Euclid. We know very little about Euclid's life, but his greatest achievements were as a chronicler of mathematics. Around 300 BC, he wrote the most important text book of all time - The Elements. In The Elements, we find the culmination of the mathematical revolution
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which had taken place in Greece. It's built on a series of mathematical assumptions, called axioms. For example, a line can be drawn between any two points. From these axioms, logical deductions are made and mathematical theorems established. The Elements contains formulas for calculating the volumes of cones and cylinders, proofs about geometric series, perfect numbers and primes. The climax of The Elements is a proof that there are only five Platonic solids. For me, this last theorem captures the power of mathematics. It's one thing to build five symmetrical solids, quite another to come up with a watertight, logical argument for why there can't be a sixth. The Elements unfolds like a wonderful, logical mystery novel. But this is a story which transcends time. Scientific theories get knocked down, from one generation to the next, but the theorems in The Elements are as true today as they were 2,000 years ago.
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When you stop and think about it, it's really amazing. It's the same theorems that we teach. We may teach them in a slightly different way, we may organise them differently, but it's Euclidean geometry that is still valid, and even in higher mathematics, when you go to higher dimensional spaces, you're still using Euclidean geometry. Alexandria must have been an inspiring place for the ancient scholars, and Euclid's fame would have attracted even more eager, young intellectuals to the Egyptian port. One mathematician who particularly enjoyed the intellectual environment in Alexandria was Archimedes. He would become a mathematical visionary. The best Greek mathematicians, they were always pushing the limits, pushing the envelope. So, Archimedes... did what he could with polygons, with solids. He then moved on to centres of gravity. He then moved on to the spiral.
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This instinct to try and mathematise everything is something that I see as a legacy. One of Archimedes' specialities was weapons of mass destruction. They were used against the Romans when they invaded his home of Syracuse in 212 BC. He also designed mirrors, which harnessed the power of the sun, to set the Roman ships on fire. But to Archimedes, these endeavours were mere amusements in geometry. He had loftier ambitions. Archimedes was enraptured by pure mathematics and believed in studying mathematics for its own sake and not for the ignoble trade of engineering or the sordid quest for profit. One of his finest investigations into pure mathematics was to produce formulas to calculate the areas of regular shapes. Archimedes' method was to capture new shapes by using shapes he already understood. So, for example, to calculate the area of a circle,
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he would enclose it inside a triangle, and then by doubling the number of sides on the triangle, the enclosing shape would get closer and closer to the circle. Indeed, we sometimes call a circle a polygon with an infinite number of sides. But by estimating the area of the circle, Archimedes is, in fact, getting a value for pi, the most important number in mathematics. However, it was calculating the volumes of solid objects where Archimedes excelled. He found a way to calculate the volume of a sphere by slicing it up and approximating each slice as a cylinder. He then added up the volumes of the slices to get an approximate value for the sphere. But his act of genius was to see what happens if you make the slices thinner and thinner. In the limit, the approximation becomes an exact calculation. But it was Archimedes' commitment to mathematics that would be his undoing. Archimedes was contemplating a problem about circles traced in the sand.
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When a Roman soldier accosted him, Archimedes was so engrossed in his problem that he insisted that he be allowed to finish his theorem. But the Roman soldier was not interested in Archimedes' problem and killed him on the spot. Even in death, Archimedes' devotion to mathematics was unwavering. By the middle of the 1st Century BC, the Romans had tightened their grip on the old Greek empire. They were less smitten with the beauty of mathematics and were more concerned with its practical applications. This pragmatic attitude signalled the beginning of the end for the great library of Alexandria. But one mathematician was determined to keep the legacy of the Greeks alive. Hypatia was exceptional, a female mathematician, and a pagan in the piously Christian Roman empire. Hypatia was very prestigious and very influential in her time. She was a teacher with a lot of students, a lot of followers.
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She was politically influential in Alexandria. So it's this combination of... high knowledge and high prestige that may have made her a figure of hatred for... the Christian mob. One morning during Lent, Hypatia was dragged off her chariot by a zealous Christian mob and taken to a church. There, she was tortured and brutally murdered. The dramatic circumstances of her life and death fascinated later generations. Sadly, her cult status eclipsed her mathematical achievements. She was, in fact, a brilliant teacher and theorist, and her death dealt a final blow to the Greek mathematical heritage of Alexandria. My travels have taken me on a fascinating journey to uncover the passion and innovation of the world's earliest mathematicians. It's the breakthroughs made by those early pioneers of Egypt, Babylon and Greece
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that are the foundations on which my subject is built today. But this is just the beginning of my mathematical odyssey. The next leg of my journey lies east, in the depths of Asia, where mathematicians scaled even greater heights in pursuit of knowledge. With this new era came a new language of algebra and numbers, better suited to telling the next chapter in the story of maths. You can learn more about the story of maths with the Open University at...

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