BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

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Language: Japanese

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私たちの世界はパターンとシーケンスで構成されています。 彼らは私たちの周りにいます。 日は夜になります。 動物は絶えず変化する形成で地球を横切って移動します。 風景は絶えず変化しています。 数学が始まった理由の1つは、 これらの自然のパターンを理解 する方法を見つける必要があったため です。 数学の最も基本的な概念である空間と量 は、私たちの脳に組み込まれています。 動物でさえ距離と数の感覚を持っており、 彼らの群れがいつ数を上回っているかを評価し、戦うか逃げるかを評価し 、獲物がすぐ そばにいるかどうかを 計算します。 数学を理解することは、生と死の違いです。 しかし、これらの基本的な概念 を採用し、これらの基盤の上に構築し始め たのは人間でした 。 ある時点で、人間はパターンを見つけ、 つながりを作り、数え、周囲の世界を秩序 づけ始め ました。
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これにより、まったく新しい数学的宇宙が出現し始めました。 これはナイル川です。 それは何千年もの間エジプトの生命線でした。 私がここに来たのは、 今日私たちが知っている数学 の最初の兆候のいくつかが 現れた場所だからです。 人々は遊牧生活を放棄し、早くも紀元前6000年にここに定住し始めました。 条件は農業に最適でした。 毎年エジプトの農業にとって最も重要な出来事はナイル川の洪水でした。 それで、これは毎年新年を始めるためのマーカーとして使われました。 エジプト人は一定期間に起こったことを記録した ので、このようなカレンダーを確立するに は、たとえば、 月の満ち欠けの間に 何日起こったか 、 または2つの洪水の間に何日起こったか を数える必要があります ナイル川の。 季節のパターンを記録すること は、土地の管理だけでなく、彼らの宗教 にとっても不可欠 でした。
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ナイル川のほとりに定住した古代エジプト人 は、毎年川に氾濫したのは川の神ハピだと信じていました。 そして、命を与える水と引き換えに 、市民は感謝祭として収穫量の一部を提供しました。 集落が大きくなるにつれて、それらを管理する方法を見つけることが必要になりました。 土地の面積を計算し、収穫量を予測し、 税金を課し、照合 する必要がありました 。 要するに、人々は数え、測定する必要がありました。 エジプト人は自分の体を使って世界を測定しました、 そしてそれは彼らの測定単位がどのように進化したかです。 手のひらは手の幅で 、キュビットは肘から指先までの腕の長さでした。 ファラオの測量士は、面積を計算するために、 100キュビットの土地のストリップである土地キュビト を使用しました。 古代エジプトでは、 官僚主義 と数学の発展の 間には非常に強いつながりがあり ます。 そして、私たちはこのリンクを最初 から、数体系の発明から、
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エジプトの歴史を通して本当に 見ることができます 。 古王国の場合、私たちが持って いる 唯一の証拠は 、長さの面積の測定である計測システムです。 これは、そのようなものを開発する官僚的な必要性を示しています。 農民がそれに応じて課税されるように、農民の土地の面積を知ることは不可欠でした。 または、ナイル川が彼の土地の一部を奪った場合、彼はリベートを要求することができます。 それは、ファラオの測量士がしばしば 不規則な土地区画の面積を 計算していたことを意味しました 。 彼らを最も初期の数学的革新者にしたのは、その ような実際的な問題を解決する必要性 でした。 エジプト人は彼らの計算の結果を記録するために何らかの方法を必要としていました。 カイロ周辺に点在する観光土産をカバーするすべての象形文字の中で、 私は歴史の最初の数のいくつかを記録したものを探していました。 彼らは追跡するのが困難でした。 しかし、私は最終的にそれらを見つけました。 エジプト人は、私たちの手の10本の指に動機付けられた10進法を使用していました。
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1つの兆候は、脳卒中、 10、踵骨、100、ロープのコイル、および1,000、蓮の植物でした。 このTシャツはいくらですか。 えー、25。25 !はい!つまり、2つの膝の骨と5つのストロークになります。 だから、ここで私に何も請求するつもりはないのですか? 100万?私の神! この百万。 100万、ええ、それはかなり大きいです! 象形文字は美しいですが、エジプトの記数法には根本的な欠陥がありました。 それらには場所の値の概念がなかった ため、1つのストローク は100または1,000 では なく 、1つの単位しか表すことができ ませんでした。 私たちが使用する7 文字で はなく、 1文字で100万文字を書くことができますが 、100万マイナス 1文字 を書きたい場合 は、貧しい古いエジプトの筆記者が9ストローク、 9ヒールボーン、9コイルのロープ を書く必要があります。 、など 、合計54文字。 この記数法の欠点にもかかわらず、エジプト人は素晴らしい問題解決者でした。
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生き残ったレコードが少ないため、これを知っています。 エジプトの筆記者は 、数学的な発見を記録するため にパピルスのシートを使用 しました。 葦から作られたこの繊細な素材は時間 とともに 腐敗し 、多くの秘密がそれとともに消滅しました。 しかし、生き残った1つの明らかな文書があります。 リンド数学パピルスは、 今日私たちがエジプト数学に関して持っている 最も重要な文書 です。 エジプト人が数学 でどのような種類の問題 に対処した かについての概要がわかります 。 また、乗算と除算がどのように実行されたかについても明確に述べられています。 パピルスは、2つの大きな数を一緒に乗算する方法を示しています。 しかし、その方法を説明するために、2つの小さな数字を見てみましょう。 6回3回やりましょう。 筆記者は最初の数字である3を取り、それを1つの列に入れます。 2番目の列では、彼はナンバーワンを配置します。 次に、各列の数値を2倍にするので、3つは6になり、6
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つは12になります。 次に、2番目の列では、1つが2つに なり、2つが4つになります。 さて、これが本当に賢いビットです。 筆記者は3を6で掛けたいと思っています。 したがって、彼は2番目の列で2の累乗を取り、 合計で6になります。それは2プラス4です。 次に、彼は最初の列に戻り 、2つと4つに対応する行を取得します。 つまり、6と12です。 彼はそれらを 合計して 18の答えを得ます。 しかし、私にとって、この方法で最も印象的なの は、筆記者がその2番目の数値を2進数で効果的に書き込んだことです。 6は4の1ロット、2の1ロットであり、ユニットはありません。 これは1-1-0です。 エジプト人は 、数学者で哲学者のライプニッツが彼らの可能性を明らかにする前に、 3、000年以上にわたってバイナリの力を理解してき ました。 今日、技術の世界全体 は、古代エジプトで使用されてい たのと同じ原則に依存してい ます。
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Rhind Papyrusは、紀元前1650年頃にAhmesと呼ばれる筆記者によって記録されました。 その問題は、日常の状況に対する解決策を見つけることに関係しています。 問題のいくつかはパンとビールに言及していますが、 エジプトの労働者は食べ物と飲み物で支払われていたので驚くことではありません。 1つは 、戦いが勃発することなく、 9つのパン を10人に均等 に分割する方法に関心があります 。 ここに9斤のパンがあります。 私はそれらのうちの5つを取り、それらを半分に切るつもりです。 もちろん、9人がパンの10分の1を剃り 、10人目にパン粉の山を与える ことができ ます。 しかし、エジプト人ははるかに洗練された解決策を開発しました- 次の4つを取り、それらを3分の1に分割します。 しかし、3分の2を5度にカットする ので、各ピースは15 分の 1になります。 その後、各人は2分の 1と3分の 1と15分の 1を 取得し ます。
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より抽象的な数学が発達するのを見始めるの は、そのような一見実用的な問題を通して です。 突然、新しい数字が登場しました-分数- そしてエジプト人がこれらの数字の数学を探求するのにそれほど長くはかかりません。 分数は、市場での取引のために数量を分割する人にとって明らかに実用的に重要です。 これらの取引を記録するために、エジプト人はこれらの新しい数を記録する表記法を開発しました。 これらの分数の最も初期の表現の1つは、 神秘的な意味を持つ象形文字に由来していました。 それはホルスの目と呼ばれています。 ホルスは古王国の神であり、半分の人間、半分の鷹として描かれていました。 伝説によると、ホルスの父は彼の他の息子、セスによって殺されました。 ホルスは殺人の復讐を決意した。 ある特に激しい戦いの間に、 セスはホルスの目を引き裂き、それを引き裂き、エジプトに散らばらせました。 しかし、神々はホルスを好意的に見ていました。
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彼らは散らばった破片を集めて目を組み立て直した。 目の各部分は異なる部分を表しています。 それぞれ、前の半分の割合。 元の目はユニット全体を表していますが 、再組み立てされた目は1/64短いです。 エジプト人は1/64で停止しました が、 この図 に 暗示されているの は、分数を追加 して毎回半分にする 可能性であり 、合計は1に近づきますが、 完全に到達することはありません。 これは等比数列と呼ばれるものの最初のヒントであり 、RhindPapyrusのいくつかのポイントに表示されます。 しかし、無限級数の概念は 、アジアの数学者が何世紀も後にそれを発見するまで 隠さ れた まま でした。 これらの新しい分数を含む数の体系を作り上げたので 、エジプト人 は彼らが日々遭遇する形を理解 するために彼らの知識 を 適用する時 が来ました。 これらの形が規則的な正方形や長方形になることはめったになく
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、Rhind Papyrusには、より有機的な形の領域である円があります。 円の面積の 計算 で 驚くべきことは 、実際にはその正確さです。 私たちが持って いるテキストは 彼らがどのように彼らが見つけられたかを私たちに示し て いない ので、 彼らが彼らの方法をどのように見つけたかは 推測に開かれ ています。 この計算は 、エジプト人がすでに理解している形状によって 円の形状をどの ように近似できる かを確認する ことに依存 している ため、特に印象的 です。 Rhind Papyrusは 、直径9単位の 円形フィールド は、 辺が8の正方形に面積が近い と 述べてい ます。 しかし、この関係はどのようにして発見されたのでしょうか? 私の好きな理論は、マンカラの古代のゲームで答えを見ています。 寺院の屋根に刻まれたマンカラ板が見つかりました。 各プレイヤーは同数の石から始め ます。ゲームの目的は、それらをボード上で動かし
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、途中で対戦相手のカウンターをキャプチャすることです。 プレーヤーが次の動きをするのを待って座っていたとき、 おそらく彼らの1人は、ボール がマンカラボードの 円形の穴 をかなり良い方法で 埋めることがあることに気づき ました。 彼はもっと大きな円を作ろうとして実験を続けたのかもしれません。 おそらく彼は、8個の正方形である64個の石を 使用して、直径9個の石で円を作ることができること に気づきました 。 石を並べ替えることで、円は正方形に近づきました。 また、円の面積は円周率の2乗を掛けたものであるため、 エジプトの計算では円周率の最初の正確な値が得られます。 円の面積は64です。これを半径の2乗、 この場合は4.5の2乗で 割る と、円周率の値が得られます。 したがって、64を4.5の2乗で割ると、3.16になり、 真の値から200分の1弱離れます。 しかし、本当に素晴らしいのは、エジプト人 がこれらの小さな形を使って大きな形をとらえていることです。
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しかし、 私たちがまだ解明しようと試みていない エジプトの 数学の 印象的で荘厳なシンボルが1つあり ます。それは、ピラミッドです。 たくさんの写真を見て、感動するなんて信じられませんでした。 しかし、彼らと直接会うと、なぜ彼らが 古代世界の七不思議の1つ と呼ばれるのかがわかります 。 彼らは単に息をのむようです。 そして 、砂漠の太陽を反映して側面がガラスのように滑らかだった 当時、彼らはどれほど印象的だったに違いありません 。 私には、砂漠の下に鏡のピラミッドがあり、 それが形を完成させて完全に対称的な八面体を作る ように見え ます。 時々、砂漠の暑さのきらめきの中で、あなたはほとんどこれらの形を見ることができます。 これらの形の中に隠された対称性のヒントが、数学者にとって非常に印象的です。 ピラミッドはこれらの完璧な形を作成するのに少し短いですが、 別の重要な数学的概念 が大ピラミッドの比率の中に隠されている可能性 があることを示唆している人もいます
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-黄金比。 最も長い辺と最も短い 辺の関係が2つの長辺 の合計と同じ である場合、2つの長さは黄金比 になります。 このような比率は 、何千年に もわたる芸術家、 建築家、デザイナーの 作品だけでなく、自然界全体で見られる 完璧な比率に関連付けられてい ます。 ピラミッドの建築家がこの重要な数学的アイデアを意識していたの か 、 それともその満足のいく美的特性のために本能的にそれに惹かれたのか、私たちは決してわかりません。 私にとって、ピラミッドについて最も印象的なこと は、古代世界の偉大な定理の1つであるピタゴラスの定理の 最初のインクリング を 含め、それらを作成するために取り入れられ た数学的輝き です 。 建物 やピラミッドに 完全な直角 三角形を付けるために、エジプト人は結び目が結ばれたロープを使用していました。 ある時点で、エジプト人は、辺 が3ノット、4ノット、5ノットでマークされ た三角形をとると、 完全な直角が保証されることに気づきました。
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これは、3の2乗と4の2乗が、5の2乗に等しいためです。 つまり、完璧なピタゴラス三角形ができました。 実際、辺がこの関係を満たす三角形は、90度の角度になります。 しかし、私はエジプト人が 彼らの3、4、5の三角形のこの抜本的な一般化を 持っていなかったとかなり確信してい ます。 これはエジプトの数学のスタイルではないため 、一般的な証明を見つけることは期待でき ません。 すべての問題は具体的な数字を使用して解決 され、最後に検証が実行される場合、結果が使用されます。 これらの具体的な数字 が 与えられると 、エジプトの数学のテキスト内に一般的な証拠はありません。 ギリシャ人とピタゴラス がすべての直角三角形が特定の特性を共有していることを証明する までには、約2、000年 かかるでしょう。 エジプト人が予想した数学的アイデアはこれだけではありませんでした。 モスクワ数学パピルスと呼ばれる4、000年前の文書 で、ピークが切り取られたピラミッド
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の体積 の 式を見つけました 。これは、計算の最初のヒントを示しています。 ピラミッドで有名なエジプトのような文化では、このような問題 が数学のテキストの中で定期的に取り上げられている ことが予想 されます。 切り捨てられたピラミッドの体積の計算は、 私たち が古代エジプトから持っている 現代の数学の基準によると 、最も 進んだビットの 1つです 。 建築家やエンジニアは確かに、 それを構築するために必要な材料の量を計算するために そのような式 を 望んでいたでしょう 。 しかし、それ は彼らがそのような美しい方法を生み出すことができたというエジプトの数学 の洗練 の 印です 。 彼らがどのように公式を導き出したかを理解するに は、最高点が1つの角の真上にくるように構築され たピラミッドから始め ます。 これらのうち3つを組み合わせて長方形のボックスを作成できる ため、傾斜したピラミッドの体積はボックスの体積の3分の1になります。
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つまり、高さ×長さ×幅×を3で割ったものです。 ここで、 ゴットフリート・ライプニッツとアイザック・ニュートンが理論を思い付く数千年前 に、微積分の最初のヒントを示す議論があります 。 ピラミッドをスライスにカットし 、レイヤーを スライドさせ て、ギザで見られるより対称的なピラミッドを作成できるとします。 ただし、レイヤーの再配置にもかかわらず、ピラミッドのボリュームは変更されていません。 したがって、同じ式が機能します。 エジプト人は驚くべき革新者で あり、新しい数学を生み出す彼らの能力は驚異的でした。 私にとって、彼らは幾何学と数の力を明らかにし、 来るべきいくつかの刺激的な数学的発見に向け て最初の動き をしました。 しかし、エジプトのそれに匹敵する数学を持っていた別の文明がありました。 そして、私たちは彼らの業績についてもっとよく知っています。 これは5000年以上前のダマスカスで、
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今日でも活気にあふれています。 かつては、古いメソポタミアとエジプトを結ぶ交易路の最も重要な地点でした。 バビロニア人は、紀元前1800年から、現代​​のイラク、イラン、シリアの大部分を支配していました。 彼らの帝国を拡大して運営するために、彼らは数の管理と操作の達人になりました。 たとえば、 社会の秩序について 教えてくれる法典があります 。 私たちが最もよく知っているのは筆記者であり 、裕福な家族や寺院や宮殿の記録を保持して いる専門家の識字能力 と数え上げの人々です。 書記学校は紀元前2500年頃から存在していました。 意欲的な筆記者は子供としてそこに送られ、数字を読み、書き、そして扱う方法を学びました。 スクライブの記録は粘土板に保管され ていたため、バビロニア人は帝国を管理し、前進させることができました。 しかし、私たちが今日持っているタブレットの多くは公式の文書ではなく、子供の運動です。
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バビロニア人がどのように数学にアプローチしたかについての珍しい洞察を私たちに与えるのは、これらのありそうもない遺物です。 つまり、これは紀元前18世紀頃の幾何学の教科書です。 たくさんの写真が載っていますね。 そして、各画像の下には、画像に関する問題を設定するテキストがあります。 たとえば、これは、長さ60単位の正方形を描き、 その中に4つの円を描きました。その面積はどれくらいですか。 ここにあるこの小さなタブレットは、少なくともここにあるタブレットよりも1、000年遅れて書かれて いますが、非常に興味深い関係があります。 また 、正方形の中に 4つの円があり 、大まかに描かれていますが、これは教科書ではなく、学校の演習です。 学生に教えている大人の筆記者は 、完成した宿題などの例として これ を 与えられ ています。 エジプト人のように、バビロニア人 は測定と計量に関係する実際的な問題を解決することに 興味を持っているよう に 見えました 。
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これらの問題に対するバビロニアの解決策は、数学のレシピのように書かれています。 筆記者は、結果を得るために一連の指示に従い、記録するだけです。 これが彼らが解決するであろう種類の問題の例です。 ここにシナモンスティックの束がありますが、それらの重さを量るつもりはありません。 代わりに、私はそれらの重量の4倍を取り、それらをスケールに追加します。 今度は20ジンを追加します。ジンは古代バビロニアの体重の尺度でした。 ここですべての半分を取り、それをもう一度追加します... それは2つのバンドルと10のジンです。 この側のすべては1マナに等しい。 1マナは60ジンでした。 そしてここに、歴史上最初の数式の1つがあり、 こちら側のすべてが1マナに等しくなります。 しかし、シナモンスティックの束の重さはどれくらいですか? 代数的な言葉がなくても、彼らは 量を 操作 して、シナモンスティックの重さが5ジンであることを証明することができました。
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私の考えでは、数学に少し悪い名前を付けるのはこの種の問題です。 あなたはそれらの古代バビロニア人をあなたが学校で持っていたすべてのそれらの曲がりくねった問題のせいにすることができます。 しかし、古代バビロニアの書記はこの種の問題に優れていました。 興味深いことに、彼らはエジプト人のように10の累乗を使用していませんでした。彼らは、60 の 累乗を使用 していました。バビロニア人は、指を使って、エジプト人のように記数法を発明しました。 しかし、 バビロニア人は、 手にある10本の指を数える代わりに、 体の部分を数えるためのより興味深い方法を見つけました。 彼らは、一方で12個のナックルを使用し、もう一方で 5本の指を使用して、5の 12倍、つまり60の異なる数 を数えることができました 。 したがって、たとえば、この数は12、24、 そして 1、2、3、4、5の2ロットで、 29に なります。60という数には別の強力な特性があります。 それは多くの方法で完全に分割することができます。 こちらが60個の豆です。 私はそれらを30の2行に配置することができます
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。20の3行 。15の4行。12の 5行 または10 の 6行 。60の分割可能性はそれを算術を行うための完璧なベースにします。 ベース60システムは非常に成功しており、現在でもその要素を使用しています。 時間を伝えたいときはいつでも、 1分で60〜60秒、1時間で60分の 単位を認識し ます。 しかし、バビロニア人の記数法の最も重要な特徴は、それが場所の価値を認識することでした。 私たちの小数があなたが記録している数十、数百、数千の数を数えるのと同じように、 各バビロニアの数の位置は60の累乗を記録し ます。ますます大きな数の新しい記号を発明する代わりに、 彼らは1-1-を書きます。 1なので、この数は3,661になります。 この発見のきっかけとなったのは、夜空の進路を図示したいというバビロニア人の願望でした。 バビロニア暦は月の周期に基づいていました。
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彼らは天文学的に大きな数を記録する方法を必要としていました。 月ごと、年ごとに、これらのサイクルが記録されました。 紀元前800年頃から、月食の完全なリストがありました。 当時、バビロニアの測定システムは非常に洗練されていました。 彼らは角度測定のシステムを持ってい ました、完全な円 で 360度、各度は 60分 に分割 されました、1分はさらに60秒に分割されました。 そのため、定期的な測定システムがあり、数体系と完全に調和して いたため、観察だけでなく計算にも適しています。 しかし、これらの大きな数を計算して対処するために 、バビロニア人は新しいシンボルを発明する必要がありました。 そしてそうすることで、彼ら は数学の歴史における 大きな 進歩の 1つである ゼロ の土台を整えました 。 初期の頃、バビロニア人 は、数字の真ん中に 空の場所をマークするために 、単に空白を残していました。
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そのため、数字の真ん中に何も表さない方法が必要でした。 そこで彼らは、呼吸マーカーの一種である句読点として記号を使用しました 。それは、数字の真ん中でゼロを意味するようになります。 数学的宇宙にゼロが登場したのはこれが初めてでした。 しかし、この小さなプレースホルダーがそれ自体で数になるまでには、1、000年以上かかるでしょう。 そのような洗練された数のシステムを確立した後、 彼らはそれを利用して、メソポタミアを貫く乾燥した住みにくい土地を飼いならしました。 バビロニアのエンジニアと測量士は 、水 に アクセスし、それを畑に導く 独創的な方法を見つけました 。 またしても、彼らは数学を使って解決策を考え出しました。 シリアのオロンテス渓谷は今でも農業の中心地で あり、数千年前と同じように、今日でも古い灌漑方法が利用されています。
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バビロニア数学の問題の多くは 土地の測定に関係しており、ここで初めて 、バビロニア数学の最大の遺産の1つである二次方程式の使用が 見られ ます。 二次方程式には 、識別しようとしている 未知の量に それ自体を掛けたものが含まれます。 これを二乗と呼ぶのは、正方形の面積が得られるため です。これらの二次方程式が自然に発生するの は、土地の面積を計算 する場合です。 これが典型的な問題です。 フィールドの面積が55単位で 、一方の辺がもう一方の辺より6単位長い場合 、短い方の辺の長さはどれくらいですか。 バビロニアの解決策は、フィールドを正方形として再構成することでした。 端 から 3ユニットを切り取り、 このラウンドを移動します。 さて、3 x 3のピースが欠けているので、これを追加しましょう。 フィールドの面積は9ユニット増加しました。
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これにより、新しい領域が64になります。 したがって、正方形の辺は8単位になります。 問題解決者は、こちら側に3つ追加したことを知っています。 したがって、元の長さは5でなければなりません。 見た目は違うかもしれませんが、これは歴史上最初の二次方程式の1つです。 現代の数学では、この問題を解決するために代数の記号言語を使用します。 バビロニア人の驚くべき偉業は、 シンボルや数式に頼ることなく 、これらの幾何学的なゲームを使用して価値を見つけていたこと です。 バビロニア人はそれ自身のために問題解決を楽しんでいました。 彼らは数学に恋をしていました。 バビロニア人の数字への興味は、すぐに彼らの余暇にも場所を見つけました。 彼らは熱心なゲームプレイヤーでした。 バビロニア人とその子孫は 、5、000年以上にわたってバックギャモンのバージョンを プレイ し てきまし た。 バビロニア人は、 彼らが退屈したとき、衛兵が再生している必要がありそうという 、宮殿の入り口に傷ボードゲームに
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、学校で見つかった 、 と彼らはサイコロを使用 王家の墓では非常に優雅なボードゲームからのボードゲームの少しビットに 、ボードゲームをプレイし カウンターを動かします。 ゲームをしている人は、余暇に数字を使って相手を裏切り、 暗算を非常に速く行っていた ので、 数学的なハードワークとは考えずに 余暇に計算していました 。 今が私のチャンスです。 「私は何年もの間バックギャモンをプレイしていませんでしたが、私の数学は私に戦いのチャンスを与えると思いました。」 それはあなた次第です。6...私は何かを動かす必要があります。 「しかし、思ったほど簡単ではありませんでした。」 ああ!一体何だったの? ええこれは1つですこれは2つです 今、あなたは困っています。 だから何も動かせません。これらを移動することはできません。 あれまあ。 そこに行きます。 3と4。 「古代のバビロニア人のように、私の敵は戦術数学の達人でした。」
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ええ。 そこにそれを置きます。良いゲーム。 バビロニア人は、 対称的な数学的形状を使用してサイコロを作る 最初の文化の1つとして認識され ていますが、別の重要な形状の秘密を最初に発見したの かどうかについては、さらに激しい議論があり ます。 直角三角形。 エジプト人が3-4-5直角三角形をどのように使用するかはすでに見てきました。 しかし、バビロニア人がこの形や他の人たちについて知っていたことは、はるかに洗練されています。 これは私たちが持っている最も有名で物議を醸している古代のタブレットです。 それはプリンプトン322と呼ばれます。 多くの数学者は、バビロニア人 が直角三角形に関する原理をよく知っていた可能性がある ことを示していると確信しています 。 対角線上の正方形は辺の正方形の合計であり 、ギリシャ人が主張する何世紀も前にそれを知っていました。 。 これは間違いなく最も有名なバビロニアのタブレットで あるプリンプトン322の コピーであり、 ここでのこれらの数値は三角形の幅または高さを反映しています。
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これは対角線であり、反対側はここに あり、この列の正方形に加えてこの列の数値 の2乗は、対角線の2乗に等しくなります。 それらは、角度が着実に減少する順序で 、非常に均一に 配置されており 、数字がどのように組み合わされて いるかを誰か がよく理解していることを示しています。 ここに15個の完全なピタゴラス三角形があり、そのすべての辺は整数の長さでした。 バビロニア人がピタゴラスの定理の最初の管理人であると考えたくなります、 そしてそれは歴史家の世代がに誘惑されたという結論です。 しかし、 ピタゴラスの定理を満たす3つの数のセット についてははるかに簡単な説明があるかもしれません 。 これはピタゴラストリプルの体系的な説明ではなく、 非常に複雑な計算を行う数学の教師です が、非常に単純な数値を生成する
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ために、直角三角形に関する問題を生徒に設定するために 、その意味でピタゴラスについてです。偶然にのみ3倍になります。 彼らが理解したことへの最も価値のある手がかりは他の場所にある可能性があります。 この小さな学校のエクササイズタブレットは4、000年近く前の もので、バビロニア人が直角三角形について知っていたことを明らかにしています。 ピタゴラスの定理の原理を使用して、驚くべき新しい数の値を見つけます。 対角線に沿って描かれているのは、2の平方根の非常に良い近似で あり、学校環境で知られ、使用されていることを示しています。 なぜこれが重要なのですか? 2の平方根は、現在無理数と呼ばれているもの です。つまり、小数で、または六十進法の場所でさえ書き出すと、 それは終わりません。数字は小数点の後に永遠に続きます。
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この計算の意味は広範囲に及びます。 第一に、それはバビロニア人がピタゴラスの1、 000年前にピタゴラスの定理の 何かを知っていたことを意味し ます。 第二に、この数値を小数点以下4桁の精度で計算できるという事実 は、驚くべき算術機能と、数学的な詳細への情熱を示しています。 バビロニア人の数学的器用さは驚くべきもので あり、約2、000年間、彼らは古代世界の知的進歩を先導してきました。 しかし、彼らの帝国の力が衰え始めたとき、彼らの知的活力も衰え始めました。 紀元前330年までに、ギリシャ人は帝国の範囲を古いメソポタミアにまで進めていました。 これは、ギリシャ人によって建てられたかつての偉大な都市、シリア中央部のパルミラです。 このような幾何学的な完成度を備えた構造を構築するために必要な数学的専門知識は印象的です。 彼らの前のバビロニア人のように、ギリシャ人は数学に情熱を持っていました。
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ギリシャ人は賢い入植者でした。 彼らは侵略 し た文明を最大限 に活用して自分 たちの力と影響力を高めました が、すぐに自分たちで貢献し始めました。 私の意見では、彼らの最大の革新は心の変化と関係があることでした。 彼らが始めたことは何世紀にもわたって人類に影響を与えるでしょう。 彼らは私たちに証拠の力を与えてくれました。 どういうわけか彼らは彼らの数学のために演繹システムを持たなければならないと決めました 、そして典型的な演繹システムはあなたが本当であると仮定する特定の公理から始めることでした。 それは、ある定理がそれを証明することなく真実であると仮定するかのようです。 そして、論理的な方法と非常に注意深い手順を使用して、 これらの公理 から定理を証明し、それらの定理からより多くの定理を証明します。それはただの雪だるま式です。 証明は数学にその強さを与えるものです。 それは力または証拠であり、ギリシャ人の発見 が2、000年前と同じように今日も真実 であることを意味し ます。
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詳細を知るには、西に向かって古いギリシャ帝国の中心部に向かう必要がありました。 私にとって、ギリシャの数学は常に英雄的でロマンチックでした。 トルコの海岸から1.6km(1マイル)未満のサモス島に向かっています。 この場所はギリシャの数学の誕生の代名詞になりました、 そしてそれは一人の男の伝説にかかっています。 彼の名前はピタゴラスです。 彼の人生と仕事を取り巻く伝説は、 彼が過去2、000年にわたって獲得した有名人の地位に 貢献 してきました。 彼は、正しいか間違っているかにかかわら ず、会計のツールとしての数学から、今日私たちが認識している分析の主題への 転換を始めたと信じてい ます。 ピタゴラスは物議を醸す人物です。 彼は数学的な文章を残さなかったので、多くの人が 彼が彼に起因する定理のいずれかを実際に解決したかどうか 疑問 に思っています。 彼は紀元前6世紀にサモスに学校を設立しました が、彼の教えは疑わしいと見なされ、ピタゴラス教徒は奇妙な宗派でした。
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ピタゴラスの学校があったという良い証拠があります、 そしてそれらは 知識を共有するだけでなく、生き方も共有したので 、私たちが哲学の学校と関連付けるものよりも宗派のように見えたかもしれ ません。 共同生活があったのかもしれませんし、彼らは皆 、自分たちの街の政治に関わっ ていた ようです。 古代世界で彼らを珍しくしている一つの特徴は、彼らが女性を含んでいたことです。 しかし、ピタゴラスは、エジプト人とバビロニア人を避けた何かを理解することと同義です- 直角三角形の特性。 ピタゴラスの定理として知られているもの は、直角三角形を取り、 すべての辺に正方形を作成すると、最大の正方形の面積 は2つの小さい辺の正方形の合計に等しくなると 述べています 。 It's at this point for me that mathematics is born and a gulf opens up between the other sciences, and the proof is as simple as it is devastating in its implications.
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Place four copies of the right-angled triangle on top of this surface. The square that you now see has sides equal to the hypotenuse of the triangle. By sliding these triangles around, we see how we can break the area of the large square up into the sum of two smaller squares, whose sides are given by the two short sides of the triangle. In other words, the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the other sides. Pythagoras' theorem. It illustrates one of the characteristic themes of Greek mathematics - the appeal to beautiful arguments in geometry rather than a reliance on number. Pythagoras may have fallen out of favour and many of the discoveries accredited to him have been contested recently, but there's one mathematical theory that I'm loath to take away from him. It's to do with music and the discoveryof the harmonic series. The story goes that, walking past a blacksmith's one day, Pythagoras heard anvils being struck,
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and noticed how the notes being produced sounded in perfect harmony. He believed that there must be some rational explanation to make sense of why the notes sounded so appealing. The answer was mathematics. Experimenting with a stringed instrument, Pythagoras discovered that the intervals between harmonious musical notes were always represented as whole-number ratios. And here's how he might have constructed his theory. First, play a note on the open string. MAN PLAYS NOTE Next, take half the length. The note almost sounds the same as the first note. In fact it's an octave higher, but the relationship is so strong, we give these notes the same name. Now take a third the length. We get another note which sounds harmonious next to the first two, but take a length of string which is not in a whole-number ratio and all we get is dissonance. According to legend, Pythagoras was so excited by this discovery that he concluded the whole universe was built from numbers.
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But he and his followers were in for a rather unsettling challenge to their world view and it came about as a result of the theorem which bears Pythagoras' name. Legend has it, one of his followers, a mathematician called Hippasus, set out to find the length of the diagonal for a right-angled triangle with two sides measuring one unit. Pythagoras' theorem implied that the length of the diagonal was a number whose square was two. The Pythagoreans assumed that the answer would be a fraction, but when Hippasus tried to express it in this way, no matter how he tried, he couldn't capture it. Eventually he realised his mistake. It was the assumption that the value was a fraction at all which was wrong. The value of the square root of two was the number that the Babylonians etched into the Yale tablet. However, they didn't recognise the special character of this number. But Hippasus did. It was an irrational number.
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The discovery of this new number, and others like it, is akin to an explorer discovering a new continent, or a naturalist finding a new species. But these irrational numbers didn't fit the Pythagorean world view. Later Greek commentators tell the story of how Pythagoras swore his sect to secrecy, but Hippasus let slip the discovery and was promptly drowned for his attempts to broadcast their research. But these mathematical discoveries could not be easily suppressed. Schools of philosophy and science started to flourish all over Greece, building on these foundations. The most famous of these was the Academy. Plato founded this school in Athens in 387 BC. Although we think of him today as a philosopher, he was one of mathematics' most important patrons. Plato was enraptured by the Pythagorean world view and considered mathematics the bedrock of knowledge. Some people would say that Plato is the most influential figure
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for our perception of Greek mathematics. He argued that mathematics is an important form of knowledge and does have a connection with reality. So by knowing mathematics, we know more about reality. In his dialogue Timaeus, Plato proposes the thesis that geometry is the key to unlocking the secrets of the universe, a view still held by scientists today. Indeed, the importance Plato attached to geometry is encapsulated in the sign that was mounted above the Academy, "Let no-one ignorant of geometry enter here." Plato proposed that the universe could be crystallised into five regular symmetrical shapes. These shapes, which we now call the Platonic solids, were composed of regular polygons, assembled to create three-dimensional symmetrical objects. The tetrahedron represented fire. The icosahedron, made from 20 triangles, represented water. The stable cube was Earth.
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The eight-faced octahedron was air. And the fifth Platonic solid, the dodecahedron, made out of 12 pentagons, was reserved for the shape that captured Plato's view of the universe. Plato's theory would have a seismic influence and continued to inspire mathematicians and astronomers for over 1,500 years. In addition to the breakthroughs made in the Academy, mathematical triumphs were also emerging from the edge of the Greek empire, and owed as much to the mathematical heritage of the Egyptians as the Greeks. Alexandria became a hub of academic excellence under the rule of the Ptolemies in the 3rd century BC, and its famous library soon gained a reputation to rival Plato's academy. The kings of Alexandria were prepared to invest in the arts and culture, in technology, mathematics, grammar, because patronage for cultural pursuits
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was one way of showing that you were a more prestigious ruler, and had a better entitlement to greatness. The old library and its precious contents were destroyed when the Muslims conquered Egypt in the 7th Century. But its spirit is alive in a new building. Today, the library remains a place of discovery and scholarship. Mathematicians and philosophers flocked to Alexandria, driven by their thirst for knowledge and the pursuit of excellence. The patrons of the library were the first professional scientists, individuals who were paid for their devotion to research. But of all those early pioneers, my hero is the enigmatic Greek mathematician Euclid. We know very little about Euclid's life, but his greatest achievements were as a chronicler of mathematics. Around 300 BC, he wrote the most important text book of all time - The Elements. In The Elements, we find the culmination of the mathematical revolution
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which had taken place in Greece. It's built on a series of mathematical assumptions, called axioms. For example, a line can be drawn between any two points. From these axioms, logical deductions are made and mathematical theorems established. The Elements contains formulas for calculating the volumes of cones and cylinders, proofs about geometric series, perfect numbers and primes. The climax of The Elements is a proof that there are only five Platonic solids. For me, this last theorem captures the power of mathematics. It's one thing to build five symmetrical solids, quite another to come up with a watertight, logical argument for why there can't be a sixth. The Elements unfolds like a wonderful, logical mystery novel. But this is a story which transcends time. Scientific theories get knocked down, from one generation to the next, but the theorems in The Elements are as true today as they were 2,000 years ago.
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When you stop and think about it, it's really amazing. It's the same theorems that we teach. We may teach them in a slightly different way, we may organise them differently, but it's Euclidean geometry that is still valid, and even in higher mathematics, when you go to higher dimensional spaces, you're still using Euclidean geometry. Alexandria must have been an inspiring place for the ancient scholars, and Euclid's fame would have attracted even more eager, young intellectuals to the Egyptian port. One mathematician who particularly enjoyed the intellectual environment in Alexandria was Archimedes. He would become a mathematical visionary. The best Greek mathematicians, they were always pushing the limits, pushing the envelope. So, Archimedes... did what he could with polygons, with solids. He then moved on to centres of gravity. He then moved on to the spiral.
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This instinct to try and mathematise everything is something that I see as a legacy. One of Archimedes' specialities was weapons of mass destruction. They were used against the Romans when they invaded his home of Syracuse in 212 BC. He also designed mirrors, which harnessed the power of the sun, to set the Roman ships on fire. But to Archimedes, these endeavours were mere amusements in geometry. He had loftier ambitions. Archimedes was enraptured by pure mathematics and believed in studying mathematics for its own sake and not for the ignoble trade of engineering or the sordid quest for profit. One of his finest investigations into pure mathematics was to produce formulas to calculate the areas of regular shapes. Archimedes' method was to capture new shapes by using shapes he already understood. So, for example, to calculate the area of a circle,
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he would enclose it inside a triangle, and then by doubling the number of sides on the triangle, the enclosing shape would get closer and closer to the circle. Indeed, we sometimes call a circle a polygon with an infinite number of sides. But by estimating the area of the circle, Archimedes is, in fact, getting a value for pi, the most important number in mathematics. However, it was calculating the volumes of solid objects where Archimedes excelled. He found a way to calculate the volume of a sphere by slicing it up and approximating each slice as a cylinder. He then added up the volumes of the slices to get an approximate value for the sphere. But his act of genius was to see what happens if you make the slices thinner and thinner. In the limit, the approximation becomes an exact calculation. But it was Archimedes' commitment to mathematics that would be his undoing. Archimedes was contemplating a problem about circles traced in the sand.
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When a Roman soldier accosted him, Archimedes was so engrossed in his problem that he insisted that he be allowed to finish his theorem. But the Roman soldier was not interested in Archimedes' problem and killed him on the spot. Even in death, Archimedes' devotion to mathematics was unwavering. By the middle of the 1st Century BC, the Romans had tightened their grip on the old Greek empire. They were less smitten with the beauty of mathematics and were more concerned with its practical applications. This pragmatic attitude signalled the beginning of the end for the great library of Alexandria. But one mathematician was determined to keep the legacy of the Greeks alive. Hypatia was exceptional, a female mathematician, and a pagan in the piously Christian Roman empire. Hypatia was very prestigious and very influential in her time. She was a teacher with a lot of students, a lot of followers.
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She was politically influential in Alexandria. So it's this combination of... high knowledge and high prestige that may have made her a figure of hatred for... the Christian mob. One morning during Lent, Hypatia was dragged off her chariot by a zealous Christian mob and taken to a church. There, she was tortured and brutally murdered. The dramatic circumstances of her life and death fascinated later generations. Sadly, her cult status eclipsed her mathematical achievements. She was, in fact, a brilliant teacher and theorist, and her death dealt a final blow to the Greek mathematical heritage of Alexandria. My travels have taken me on a fascinating journey to uncover the passion and innovation of the world's earliest mathematicians. It's the breakthroughs made by those early pioneers of Egypt, Babylon and Greece
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that are the foundations on which my subject is built today. But this is just the beginning of my mathematical odyssey. The next leg of my journey lies east, in the depths of Asia, where mathematicians scaled even greater heights in pursuit of knowledge. With this new era came a new language of algebra and numbers, better suited to telling the next chapter in the story of maths. You can learn more about the story of maths with the Open University at...

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