BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

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Language: Hindi

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हमारी दुनिया पैटर्न और क्रम से बनी है। वे हमारे चारों ओर हैं। दिन रात बन जाता है। कभी-कभी बदलते हुए स्वरूपों में जानवर पृथ्वी पर आते हैं। परिदृश्य लगातार बदल रहे हैं। गणित शुरू होने का एक कारण यह था कि हमें इन प्राकृतिक प्रतिमानों को समझने का एक तरीका खोजने की आवश्यकता थी । गणित की सबसे बुनियादी अवधारणाएं - अंतरिक्ष और मात्रा - हमारे दिमाग में हार्ड-वायर्ड हैं। यहां तक ​​कि जानवरों में दूरी और संख्या की भावना होती है, यह आकलन करते हुए कि उनका पैक कब का है, और क्या लड़ना या उड़ना है, यह गणना करना कि क्या उनका शिकार हड़ताली दूरी के भीतर है। गणित को समझना जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। लेकिन यह वह व्यक्ति था जिसने इन बुनियादी अवधारणाओं को लिया और इन नींवों का निर्माण करना शुरू कर दिया। कुछ बिंदु पर, मनुष्यों ने पैटर्न बनाना शुरू कर दिया, कनेक्शन बनाने के लिए, उनके आसपास की दुनिया को गिनने और आदेश देने के लिए।
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इसके साथ, एक नया गणितीय ब्रह्मांड उभरने लगा। यह नील नदी है। यह सहस्राब्दियों से मिस्र की जीवन रेखा रही है। मैं यहां आया हूं क्योंकि यह गणित का पहला संकेत है , जैसा कि हम जानते हैं कि यह आज उभरा है। लोगों ने खानाबदोश जीवन छोड़ दिया और 6000BC के रूप में जल्दी यहाँ बसना शुरू किया। खेती के लिए परिस्थितियाँ एकदम सही थीं। मिस्र की कृषि के लिए हर साल सबसे महत्वपूर्ण घटना नील नदी की बाढ़ थी। इसलिए प्रत्येक नए साल को शुरू करने के लिए इसे एक मार्कर के रूप में उपयोग किया जाता था। मिस्र के लोगों ने रिकॉर्ड किया कि समय के साथ क्या हो रहा है, इसलिए इस तरह एक कैलेंडर स्थापित करने के लिए, आपको यह गिनने की जरूरत है कि कितने दिनों में, उदाहरण के लिए, चंद्र चरणों के बीच, या दो बाढ़ों के बीच कितने दिनों में हुआ नील नदी की। मौसमों के लिए पैटर्न को रिकॉर्ड करना आवश्यक था, न केवल भूमि के प्रबंधन के लिए, बल्कि उनका धर्म भी।
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प्राचीन मिस्र जो नील नदी पर बसे थे उनका मानना ​​था कि यह नदी देवता हैपी है, जिन्होंने प्रत्येक वर्ष नदी में बाढ़ की। और जीवन देने वाले पानी के बदले में, नागरिकों ने उपज के एक हिस्से को धन्यवाद के रूप में पेश किया। जैसे-जैसे बस्तियाँ बड़ी होती गईं, उन्हें प्रशासित करने के तरीके खोजना आवश्यक हो गया। भूमि के क्षेत्रों की गणना की जानी चाहिए, फसल की पैदावार की भविष्यवाणी की, करों का आरोप लगाया और टकराया। संक्षेप में, लोगों को गिनने और मापने की आवश्यकता थी। मिस्र के लोगों ने दुनिया को मापने के लिए अपने शरीर का उपयोग किया, और यह है कि उनकी माप की इकाइयाँ कैसे विकसित हुईं। एक हथेली हाथ की चौड़ाई, कोहनी से उंगलियों तक एक हाथ की लंबाई थी। भूमि के टुकड़े, 100 के हिसाब से एक क्यूबिट को मापने वाली भूमि के स्ट्रिप्स, क्षेत्रों की गणना करने के लिए फिरौन के सर्वेक्षकों द्वारा उपयोग किए गए थे। प्राचीन मिस्र में नौकरशाही और गणित के विकास के बीच एक बहुत मजबूत संबंध है । और हम इस लिंक को शुरू से ही देख सकते हैं, संख्या प्रणाली के आविष्कार से,
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पूरे मिस्र के इतिहास में, वास्तव में। ओल्ड किंगडम के लिए, हमारे पास एकमात्र सबूत मेट्रोलॉजिकल सिस्टम हैं, जो क्षेत्रों के लिए माप है, लंबाई के लिए। यह एक नौकरशाही को इंगित करता है कि ऐसी चीजों को विकसित करने की आवश्यकता है। एक किसान की भूमि का क्षेत्रफल जानना महत्वपूर्ण था, इसलिए उस पर कर लगाया जा सकता था। या अगर नील ने उसकी जमीन का कुछ हिस्सा लूट लिया, तो वह छूट का अनुरोध कर सकता था। इसका मतलब था कि फ़राओ के सर्वेयर अक्सर भूमि के अनियमित पार्सल के क्षेत्र की गणना कर रहे थे । यह ऐसी व्यावहारिक समस्याओं को हल करने की आवश्यकता थी, जिन्होंने उन्हें जल्द से जल्द गणितीय नवप्रवर्तक बनाया। मिस्रियों को अपनी गणना के परिणामों को रिकॉर्ड करने के लिए किसी तरह की आवश्यकता थी। काहिरा के चारों ओर बिखरे पर्यटक स्मारकों को कवर करने वाली सभी चित्रलिपि के बीच, मैं उन लोगों के लिए शिकार पर था , जिन्होंने इतिहास में कुछ पहले नंबर दर्ज किए थे। उन्हें ट्रैक करना मुश्किल था। लेकिन मैंने उन्हें आखिर में पा लिया। मिस्रवासी एक दशमलव प्रणाली का उपयोग कर रहे थे, जो हमारे हाथों की 10 अंगुलियों से प्रेरित थी।
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एक के लिए संकेत एक स्ट्रोक, 10, एक एड़ी की हड्डी, 100, रस्सी का एक कुंडल, और 1,000, एक लोटस पौधा था। यह टी-शर्ट कितनी है? एर, 25. 25! हां! तो यह 2 घुटने की हड्डियों और 5 स्ट्रोक होगा। तो तुम मुझे यहाँ कुछ भी चार्ज नहीं कर रहे हो? यहाँ, एक लाख! दस लाख? मेरे भगवान! यह एक लाख। एक लाख, हाँ, यह बहुत बड़ा है! चित्रलिपि सुंदर हैं, लेकिन मिस्र की संख्या प्रणाली मौलिक रूप से त्रुटिपूर्ण थी। उनके पास स्थान मूल्य की कोई अवधारणा नहीं थी, इसलिए एक स्ट्रोक केवल एक इकाई का प्रतिनिधित्व कर सकता था, न कि 100 या 1,000। यद्यपि आप केवल एक वर्ण के साथ एक लाख लिख सकते हैं, सात के बजाय जो हम उपयोग करते हैं, यदि आप एक लाख माइनस एक लिखना चाहते हैं, तो गरीब पुराने मिस्र के मुंशी को नौ स्ट्रोक, नौ एड़ी की हड्डियों, रस्सी के नौ कॉइल लिखने के लिए मिला है , और इतने पर, कुल 54 वर्ण। इस संख्या प्रणाली की खामी के बावजूद, मिस्रवासी प्रतिभाशाली समस्या हल करने वाले थे।
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इसे हम उन कुछ रिकॉर्ड्स के कारण जानते हैं जो जीवित हैं। मिस्र के शास्त्रियों ने अपनी गणितीय खोजों को दर्ज करने के लिए पपीरस की चादरों का इस्तेमाल किया । नरकट से बनी यह नाजुक सामग्री समय के साथ क्षय हो गई और इससे कई रहस्य खत्म हो गए। लेकिन एक खुलासा दस्तावेज है जो बच गया है। द रिहंद मैथमेटिकल पैपीरस , मिस्र के गणित के लिए आज का सबसे महत्वपूर्ण दस्तावेज है । हमें इस बात का एक अच्छा अवलोकन मिलता है कि मिस्रियों ने अपने गणित में किस प्रकार की समस्याओं का सामना किया होगा। हमें यह भी स्पष्ट रूप से कहा गया है कि कैसे गुणा और भाग किया गया। पिपरी दिखाते हैं कि दो बड़ी संख्याओं को एक साथ कैसे गुणा किया जाए। लेकिन विधि को समझने के लिए, आइए दो छोटी संख्याएँ लें। तीन छह करते हैं। मुंशी पहले नंबर, तीन को लेता है और एक कॉलम में डालता है। दूसरे कॉलम में, वह नंबर एक स्थान पर होगा। फिर वह प्रत्येक कॉलम में संख्या को दोगुना कर देगा, इसलिए तीन छह हो जाएंगे
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… .. और छह बन जाएंगे 12. और फिर दूसरे कॉलम में, एक दो हो जाएंगे, और दो चार हो जाएंगे । अब, यहाँ वास्तव में चतुर बिट है। मुंशी तीन को छह से गुणा करना चाहता है। इसलिए वह दूसरे कॉलम में दो की शक्तियां लेता है, जो छह तक जोड़ता है। वह दो प्लस चार है। फिर वह पहले स्तंभ पर वापस जाता है, और बस उन पंक्तियों को दो और चार के अनुरूप लेता है । तो यह छह और 12. वह 18 के उत्तर पाने के लिए उन लोगों को एक साथ जोड़ता है । लेकिन मेरे लिए, इस पद्धति के बारे में सबसे खास बात यह है कि मुंशी ने प्रभावी रूप से उस दूसरे नंबर को बाइनरी में लिखा है। छह चार में से एक बहुत है, दो में से एक बहुत है, और कोई इकाई नहीं है। जो 1-1-0 है। गणितज्ञ 3,000 से अधिक वर्षों की बाइनरी की ताकत को समझ चुके हैं, इससे पहले कि गणितज्ञ और दार्शनिक लिबनीज उनकी क्षमता को प्रकट करेंगे। आज, पूरी तकनीकी दुनिया उन्हीं सिद्धांतों पर निर्भर करती है जो प्राचीन मिस्र में इस्तेमाल किए गए थे।
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1650BC के आसपास अहम्स नामक एक लेखक द्वारा रिहंद पपीरस को रिकॉर्ड किया गया था। इसकी समस्याएं रोजमर्रा की परिस्थितियों के समाधान खोजने से संबंधित हैं। समस्याओं में से कई रोटी और बीयर का उल्लेख करते हैं, जो आश्चर्यजनक नहीं है क्योंकि मिस्र के श्रमिकों को भोजन और पेय में भुगतान किया गया था। एक का संबंध है कि कैसे नौ लोगों को 10 लोगों के बीच समान रूप से विभाजित करना है , बिना किसी लड़ाई के। मुझे यहाँ नौ रोटियाँ मिली हैं। मैं उनमें से पाँच लेने जा रहा हूँ और उन्हें हिस्सों में काट रहा हूँ। बेशक, नौ लोग अपनी रोटी से 10 वीं पास कर सकते हैं और 10 वें व्यक्ति को टुकड़ों का ढेर दे सकते हैं। लेकिन मिस्रियों ने एक और अधिक सुंदर समाधान विकसित किया - अगले चार को लें और उन तिहाई को विभाजित करें। लेकिन दो तिहाई मैं अब पंद्रहवें हिस्से में जा रहा हूं, इसलिए प्रत्येक टुकड़ा एक पंद्रहवां होगा। प्रत्येक व्यक्ति को तब एक आधा और एक तिहाई और एक पंद्रहवां मिलता है।
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यह ऐसी प्रतीत होता है कि व्यावहारिक समस्याओं के माध्यम से है कि हम एक अधिक अमूर्त गणित को विकसित होते देखना शुरू करते हैं। अचानक, नए नंबर दृश्य पर हैं - अंश - और यह बहुत पहले नहीं है जब मिस्रवासी इन संख्याओं के गणित की खोज कर रहे हैं। बाजार में व्यापार के लिए राशियों को विभाजित करने के लिए भिन्नता व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण है। इन लेन-देन को लॉग करने के लिए, मिस्रियों ने नोटेशन विकसित किया जिसने इन नए नंबरों को दर्ज किया। इन अंशों में से एक प्रारंभिक प्रतिनिधित्व एक चित्रलिपि से आया जिसका बहुत ही रहस्यमय महत्व था। इसे आई ऑफ होरस कहा जाता है। होरस एक पुराने साम्राज्य का देवता था, जिसे आधा आदमी, आधा बाज़ के रूप में दिखाया गया था। पौराणिक कथा के अनुसार, होरस के पिता को उनके दूसरे बेटे, सेठ ने मार डाला था। हत्या का बदला लेने के लिए होरस का निर्धारण किया गया था। एक विशेष रूप से भयंकर युद्ध के दौरान, सेठ ने होरस की आंख को चीर दिया, उसे फाड़ दिया और उसे मिस्र पर बिखेर दिया। लेकिन देवता होरस पर अनुकूल दिख रहे थे।
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उन्होंने बिखरे हुए टुकड़ों को इकट्ठा किया और आंख को फिर से महसूस किया। आंख के प्रत्येक भाग ने एक अलग अंश का प्रतिनिधित्व किया। प्रत्येक एक, पहले आधा अंश। यद्यपि मूल आंख एक पूरी इकाई का प्रतिनिधित्व करती है, फिर से पाया गया आंख 1/64 छोटा है। यद्यपि मिस्रियों ने 1/64 पर रोक दिया, इस चित्र में निहित है कि अधिक फ्रैक्चर को जोड़ने की संभावना है, हर बार उन्हें रोकना , योग एक के करीब और करीब हो रहा है, लेकिन कभी भी काफी नहीं पहुंच रहा है। यह एक ज्यामितीय श्रृंखला नामक किसी चीज़ का पहला संकेत है, और यह रिहंद पपीरस में कई बिंदुओं पर दिखाई देता है। लेकिन अनंत श्रृंखला की अवधारणा तब तक छिपी रहेगी जब तक कि एशिया के गणितज्ञों ने इसे सदियों बाद खोज नहीं लिया। इन नए अंशों सहित संख्याओं की एक प्रणाली पर काम करने के बाद, मिस्रियों के लिए अपने ज्ञान को उन आकृतियों को समझने के लिए लागू करने का समय आ गया था , जिनका वे दिन-प्रतिदिन सामना करते थे। ये आकार शायद ही कभी नियमित रूप से वर्ग या आयताकार थे,
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और रिहंड पेपिरस में, हम एक अधिक कार्बनिक रूप के क्षेत्र, सर्कल का पता लगाते हैं। सर्कल के क्षेत्र की गणना में जो अचरज होता है, वह इसकी सटीकता है। कैसे उन्होंने पाया होगा कि उनका तरीका अटकलों के लिए खुला है, क्योंकि जिन ग्रंथों में हमें नहीं दिखाया गया है, वे तरीके हमें नहीं दिखाते कि वे कैसे पाए गए। यह गणना विशेष रूप से हड़ताली है क्योंकि यह देखने पर निर्भर करता है कि कैसे चक्र के आकार को उन आकृतियों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है जिन्हें मिस्र के लोग पहले से ही समझते थे। रिहंद पपीरस का कहना है कि नौ इकाइयों के व्यास वाला एक गोलाकार क्षेत्र आठ के किनारों के साथ एक वर्ग के करीब है। लेकिन इस रिश्ते को कैसे खोजा गया होगा? मेरा पसंदीदा सिद्धांत मंकला के प्राचीन खेल में उत्तर देखता है। मंदिरों की छतों पर मनचाला बोर्ड खुदे हुए पाए गए। प्रत्येक खिलाड़ी समान संख्या में पत्थरों के साथ शुरू होता है, और खेल का उद्देश्य उन्हें बोर्ड पर गोल करना है,
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जो आपके प्रतिद्वंद्वी के काउंटरों को रास्ते में कैप्चर करता है। जैसा कि खिलाड़ी अपनी अगली चाल बनाने के लिए इंतजार कर रहे थे, शायद उनमें से एक ने महसूस किया कि कभी-कभी गेंदों को एक अच्छे तरीके से मैनकला बोर्ड के परिपत्र छेद भरते हैं । हो सकता है कि वह बड़े घेरे बनाने की कोशिश में प्रयोग करने गया हो। शायद उसने देखा कि 64 पत्थर, 8 का वर्ग, व्यास नौ पत्थरों के साथ एक सर्कल बनाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। पत्थरों को पुनर्व्यवस्थित करके, सर्कल को एक वर्ग द्वारा अनुमानित किया गया है। और क्योंकि सर्कल के क्षेत्रफल का दायरा त्रिज्या वर्ग के बराबर है, मिस्र की गणना हमें पाई के लिए पहला सटीक मूल्य प्रदान करती है। सर्कल का क्षेत्र 64 है। इसे त्रिज्या वर्ग द्वारा विभाजित करें, इस मामले में 4.5 वर्ग, और आपको पाई के लिए एक मूल्य मिलता है। तो 64 को 4.5 वर्ग से विभाजित किया गया है 3.16, अपने वास्तविक मूल्य से दो सौवें हिस्से के थोड़ा नीचे। लेकिन वास्तव में शानदार चीज है, मिस्र के लोग इन छोटे आकृतियों का उपयोग बड़े आकार पर कब्जा करने के लिए कर रहे हैं।
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लेकिन मिस्र के गणित का एक थोपा हुआ और गजब का प्रतीक है जिसे हमने अभी तक खोलने का प्रयास नहीं किया है - पिरामिड। मैंने बहुत सी तस्वीरें देखी हैं, जिन पर मैं विश्वास नहीं कर सकता था कि मैं उनसे प्रभावित हूँ। लेकिन आमने-सामने मिलने से आप समझ जाते हैं कि उन्हें प्राचीन विश्व के सात अजूबों में से एक क्यों कहा जाता है । वे बस लुभावनी हैं। और वे अपने दिन में कितना अधिक प्रभावशाली रहे होंगे, जब रेगिस्तान के सूरज को दर्शाते हुए पक्ष कांच की तरह चिकने थे। मेरे लिए ऐसा लगता है कि रेगिस्तान के नीचे दर्पण पिरामिड हो सकते हैं, जो पूरी तरह से अस्वास्थ्यकर ऑक्टाहेड्रॉन बनाने के लिए आकृतियों को पूरा करेंगे। कभी-कभी, रेगिस्तान की गर्मी के टिमटिमाना में, आप लगभग इन आकृतियों को देख सकते हैं। यह इन आकृतियों के अंदर छिपे समरूपता का संकेत है जो उन्हें एक गणितज्ञ के लिए इतना प्रभावशाली बनाता है। पिरामिड इन पूर्ण आकृतियों को बनाने के लिए थोड़े छोटे हैं, लेकिन कुछ ने सुझाव दिया है कि एक और महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा ग्रेट पिरामिड के अनुपात में छिपी हो सकती है - सुनहरा अनुपात।
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दो लम्बाई सुनहरे अनुपात में होती हैं, यदि सबसे कम से कम लंबाई का संबंध दो से सबसे लंबे पक्ष के योग के समान होता है। इस तरह का अनुपात सही अनुपात से जुड़ा हुआ है जो प्राकृतिक दुनिया में पाया जाता है, साथ ही साथ सहस्राब्दियों के लिए कलाकारों, वास्तुकारों और डिजाइनरों के काम में भी । चाहे पिरामिड के आर्किटेक्ट इस महत्वपूर्ण गणितीय विचार के प्रति सचेत थे, या इसके संतोषजनक सौंदर्य गुणों के कारण सहज रूप से इसके लिए तैयार थे, हम कभी नहीं जान पाएंगे। मेरे लिए, पिरामिड के बारे में सबसे प्रभावशाली बात गणितीय प्रतिभा जो उन्हें बनाने में चली गई, जिसमें प्राचीन दुनिया के महान प्रमेयों में से एक, पाइथागोरस की प्रमेय की पहली स्याही शामिल है। अपनी इमारतों और पिरामिडों पर सही समकोण कोनों को पाने के लिए , मिस्रियों ने एक रस्सी का इस्तेमाल किया, जिसमें गांठें बंधी थीं। कुछ बिंदु पर, मिस्रियों ने महसूस किया कि यदि वे तीन समुद्री मील, चार समुद्री मील और पांच समुद्री मील के साथ चिह्नित पक्षों के साथ एक त्रिकोण लेते हैं , तो यह उन्हें सही कोण की गारंटी देता है।
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ऐसा इसलिए है क्योंकि तीन वर्ग, प्लस चार वर्ग, पाँच वर्ग के बराबर है। इसलिए हमें एक पूर्ण पायथागॉरियन त्रिकोण मिला है। वास्तव में कोई भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ इस रिश्ते को संतुष्ट करती हैं, मुझे 90 डिग्री का कोण प्रदान करेगी। लेकिन मुझे पूरा यकीन है कि मिस्रवासियों को अपने 3, 4, 5 त्रिभुज का यह व्यापक सामान्यीकरण नहीं मिला था । हम सामान्य प्रमाण को खोजने की उम्मीद नहीं करेंगे क्योंकि यह मिस्र के गणित की शैली नहीं है। कंक्रीट नंबर का उपयोग करके हर समस्या को हल किया गया था और फिर अगर अंत में एक सत्यापन किया जाएगा, तो यह परिणाम का उपयोग करेगा और ये ठोस, दिए गए नंबर, मिस्र के गणितीय ग्रंथों के भीतर कोई सामान्य प्रमाण नहीं है। यूनानियों और पाइथागोरस के कुछ 2,000 साल पहले यह साबित होगा कि सभी समकोण त्रिभुज कुछ गुणों को साझा करते हैं। यह एकमात्र गणितीय विचार नहीं था जो कि इजीपियंस का अनुमान लगाएगा। मास्को पैपाइरस नामक एक 4,000 साल पुराने दस्तावेज़ में, हम पिरामिड के आयतन के
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लिए एक फार्मूला ढूंढते हैं, जिसकी चोटी कटी हुई है, जो काम पर पहला संकेत देता है। मिस्र जैसी संस्कृति के लिए जो अपने पिरामिडों के लिए प्रसिद्ध है, आप इस तरह की समस्याओं की उम्मीद करेंगे जैसे गणितीय ग्रंथों के भीतर एक नियमित विशेषता रही होगी। गणित के हमारे आधुनिक मानकों के अनुसार, एक छोटा पिरामिड के आयतन की गणना सबसे उन्नत बिट्स में से एक है , जो कि हमारे पास प्राचीन मिस्र से है। आर्किटेक्ट और इंजीनियर निश्चित रूप से इस तरह के फार्मूले को बनाने के लिए आवश्यक सामग्री की मात्रा की गणना करना चाहते थे । लेकिन यह मिस्र के गणित के परिष्कार का एक निशान है कि वे इतनी सुंदर विधि का निर्माण करने में सक्षम थे। यह समझने के लिए कि उन्होंने अपने सूत्र को कैसे व्युत्पन्न किया है, एक पिरामिड के साथ शुरू करें जैसे कि उच्चतम बिंदु एक कोने पर सीधे बैठता है। इनमें से तीन को एक आयताकार बॉक्स बनाने के लिए एक साथ रखा जा सकता है, इसलिए तिरछे पिरामिड का आयतन बॉक्स का तीसरा आयतन है।
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वह है, ऊँचाई, लंबाई, समय, चौड़ाई, तीन से विभाजित। अब एक तर्क आता है जो काम के समय कैलकुलस के बहुत पहले संकेत दिखाता है, हजारों साल पहले गॉटफ्रीड लीबनिज और आइजैक न्यूटन सिद्धांत के साथ आएंगे। मान लीजिए कि आप पिरामिड को स्लाइस में काट सकते हैं, तो आप परतों को स्लाइड कर सकते हैं ताकि आप गीज़ा में अधिक सममित पिरामिड बना सकें। हालांकि, परतों के पुनर्व्यवस्था के बावजूद, पिरामिड का आयतन नहीं बदला है। तो वही सूत्र काम करता है। मिस्रवासी अद्भुत इनोवेटर थे, और नए गणित उत्पन्न करने की उनकी क्षमता डगमगा रही थी। मेरे लिए, उन्होंने ज्यामिति और संख्याओं की शक्ति का खुलासा किया, और आने वाले कुछ रोमांचक गणितीय खोजों की ओर पहला कदम बढ़ाया। लेकिन एक और सभ्यता थी जिसमें मिस्र के प्रतिद्वंद्वी को गणित था। और हम उनकी उपलब्धियों के बारे में अधिक जानते हैं। यह दमिश्क, 5,000 साल से अधिक पुराना है,
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और आज भी जीवंत और हलचल भरा है। यह पुराने मेसोपोटामिया को मिस्र के साथ जोड़ने वाले व्यापार मार्गों पर सबसे महत्वपूर्ण बिंदु हुआ करता था। बेबीलोनियों ने 1800BC से आधुनिक इराक, ईरान और सीरिया को नियंत्रित किया। अपने साम्राज्य का विस्तार करने और चलाने के लिए, वे संख्याओं के प्रबंधन और हेरफेर करने के स्वामी बन गए। उदाहरण के लिए हमारे पास कानून कोड हैं जो हमें समाज के आदेश के तरीके के बारे में बताते हैं । हम जिन लोगों के बारे में सबसे अधिक जानते हैं, वे हैं, पेशेवर रूप से साक्षर और समृद्ध लोग, जिन्होंने धनी परिवारों और मंदिरों और महलों के लिए रिकॉर्ड बनाए रखा। लगभग 2500BC से स्कूलों का अस्तित्व था। आकांक्षी स्क्रिब को बच्चों के रूप में वहां भेजा गया था, और संख्याओं के साथ पढ़ना, लिखना और काम करना सीखा। मिट्टी की गोलियों पर रिकॉर्ड बनाए गए थे, जो बेबीलोन के लोगों को अपने साम्राज्य का प्रबंधन करने और आगे बढ़ाने की अनुमति देते थे। हालाँकि, आज की कई गोलियाँ हमारे पास आधिकारिक दस्तावेज नहीं हैं, लेकिन बच्चों के व्यायाम हैं।
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यह इन असंभावित अवशेष हैं जो हमें एक दुर्लभ अंतर्दृष्टि देते हैं कि बेबीलोनियों ने गणित से कैसे संपर्क किया। तो, यह 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बारे में एक ज्यामितीय पाठ्यपुस्तक है। मुझे उम्मीद है कि आप देख सकते हैं कि इस पर बहुत सारी तस्वीरें हैं। और प्रत्येक चित्र के नीचे एक पाठ है जो चित्र के बारे में एक समस्या निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, यहाँ एक कहता है, मैंने एक वर्ग को खींचा, ६० इकाइयाँ लंबी, और उसके अंदर, मैंने चार वृत्त खींचे - उनके क्षेत्र क्या हैं? यह छोटी गोली यहाँ टैबलेट की तुलना में कम से कम 1,000 साल बाद लिखी गई थी, लेकिन एक बहुत ही दिलचस्प रिश्ता है। इसके चार वृत्त भी हैं, एक वर्ग में, लगभग खींचे हुए, लेकिन यह एक पाठ्यपुस्तक नहीं है, यह एक स्कूल व्यायाम है। छात्र को पढ़ाने वाले वयस्क मुंशी को यह पूरा होमवर्क या ऐसा कुछ उदाहरण के रूप में दिया जा रहा है। मिस्रवासियों की तरह, बैबिलोन के लोग व्यावहारिक समस्याओं को मापने और तौलने के साथ हल करने में रुचि रखते थे।
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इन समस्याओं के बेबीलोन समाधान गणितीय व्यंजनों की तरह लिखे गए हैं। एक मुंशी बस एक परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्देशों का एक सेट का पालन और रिकॉर्ड करेगा। यहाँ समस्या का एक उदाहरण है जो वे हल करेंगे। मुझे यहाँ दालचीनी की एक गठ्ठी मिली है, लेकिन मैं उन्हें तौलने वाला नहीं हूँ। इसके बजाय, मैं उनके वजन का चार गुना लेने वाला हूं और उन्हें तराजू में जोड़ता हूं। अब मैं 20 गेन जोड़ने वाला हूं। जिन वजन का प्राचीन बेबीलोन मापक था। मैं यहाँ सब कुछ आधा लेने जा रहा हूँ और फिर इसे फिर से जोड़ूँगा ... यह दो बंडलों और दस जिन है। इस तरफ सब कुछ एक मैना के बराबर है। एक मैना 60 गिन्नी थी। और यहां, हमारे पास इतिहास में पहले गणितीय समीकरणों में से एक है, इस तरफ सब कुछ एक मान के बराबर है। लेकिन दालचीनी की लकड़ियों का बंडल कितना वजन करता है? किसी भी बीजीय भाषा के बिना, वे मात्रा में हेरफेर करने में सक्षम थे यह साबित करने में सक्षम होने के लिए कि दालचीनी की छड़ियों का वजन पांच इंच था।
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मेरे दिमाग में, इस तरह की समस्या है जो गणित को थोड़ा बुरा नाम देती है। आप उन प्राचीन बेबीलोनियों को उन सभी अत्याचारी समस्याओं के लिए दोषी ठहरा सकते हैं जो आपके स्कूल में थीं। लेकिन प्राचीन बेबीलोनियाई शास्त्रियों ने इस तरह की समस्या पर विचार किया। आश्चर्यजनक रूप से, वे मिस्र की तरह 10 की शक्तियों का उपयोग नहीं कर रहे थे, वे 60 की शक्तियों का उपयोग कर रहे थे । बेबीलोनियों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके मिस्रियों की तरह अपनी संख्या प्रणाली का आविष्कार किया। लेकिन अपने हाथों पर 10 अंगुलियों के माध्यम से गिनने के बजाय, बैबिलोनियों ने शरीर के अंगों को गिनने के लिए एक बेहतर तरीका पाया। उन्होंने एक हाथ पर 12 अंगुलियों का इस्तेमाल किया, और दूसरी पर पांचों उंगलियां 12 गुना 5, यानी 60 विभिन्न संख्याओं को गिनने में सक्षम होने के लिए । उदाहरण के लिए, यह संख्या २२ १२, २४, और फिर १, २, ३, ४, ५, २ ९ बनाने के लिए बहुत सी होती। संख्या ६० में एक और शक्तिशाली संपत्ति थी। इसे पूरी तरह से कई तरीकों से विभाजित किया जा सकता है। यहाँ 60 फलियाँ हैं। मैं उन्हें 30 की 2 पंक्तियों में व्यवस्थित कर सकता हूं।
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20 की 3 पंक्तियों को। 15 की 15. 4 पंक्तियों को 12. 12. 5 पंक्तियों को या 10. 10. पंक्तियों की 60 की विभाज्यता इसे एक सही आधार बनाती है जिसमें अंकगणित करना है। आधार 60 प्रणाली इतनी सफल रही, हम आज भी इसके तत्वों का उपयोग करते हैं। हर बार जब हम समय बताना चाहते हैं, हम एक मिनट में 60 - 60 सेकंड की इकाइयों को पहचानते हैं , एक घंटे में 60 मिनट। लेकिन बेबीलोनियों की संख्या प्रणाली की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह थी कि यह स्थान मान को मान्यता देता था। जिस तरह हमारे दशमलव संख्या गिनते हैं कि आप कितने दसियों, सैकड़ों और हजारों की संख्या में रिकॉर्डिंग कर रहे हैं, प्रत्येक बेबीलोनियन नंबर की स्थिति 60 की शक्ति को दर्ज करती है। बड़े और बड़े संख्याओं के लिए नए प्रतीकों का आविष्कार करने के बजाय, वे 1-1 लिखेंगे। 1 है, इसलिए यह संख्या 3,661 होगी। इस खोज के लिए उत्प्रेरक रात के आकाश के दौरान चार्ट करने की बेबीलोनियों की इच्छा थी। बेबीलोन का कैलेंडर चंद्रमा के चक्रों पर आधारित था।
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उन्हें खगोलीय रूप से बड़ी संख्या में रिकॉर्डिंग करने का एक तरीका चाहिए था। महीने दर महीने, साल दर साल, इन चक्रों को दर्ज किया गया। लगभग 800BC से, चंद्र ग्रहणों की पूरी सूची थी। उस समय माप की बेबीलोन प्रणाली काफी परिष्कृत थी। उनके पास कोणीय माप की एक प्रणाली थी, एक पूर्ण चक्र में 360 डिग्री, प्रत्येक डिग्री को 60 मिनट में विभाजित किया गया था , एक मिनट को 60 सेकंड में विभाजित किया गया था। इसलिए उनके पास माप के लिए एक नियमित प्रणाली थी, और यह उनकी संख्या प्रणाली के साथ पूर्ण सामंजस्य था, इसलिए यह न केवल अवलोकन के लिए बल्कि गणना के लिए भी अनुकूल है। लेकिन इन बड़ी संख्याओं की गणना और सामना करने के लिए, बेबीलोनियों को एक नए प्रतीक का आविष्कार करने की आवश्यकता थी। और ऐसा करते हुए, उन्होंने गणित के इतिहास में महान सफलताओं में से एक के लिए जमीन तैयार की - शून्य। शुरुआती दिनों में, बेबीलोनियन, एक नंबर के बीच में एक खाली जगह को चिह्नित करने के लिए , बस एक खाली जगह छोड़ देंगे।
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इसलिए उन्हें एक संख्या के बीच में कुछ भी प्रतिनिधित्व करने के तरीके की आवश्यकता नहीं थी। इसलिए उन्होंने एक संकेत का उपयोग किया, एक प्रकार के श्वास मार्कर के रूप में, एक विराम चिह्न, और यह संख्या के बीच में शून्य का मतलब है। यह पहली बार शून्य था, किसी भी रूप में, गणितीय ब्रह्मांड में दिखाई दिया था। लेकिन यह 1,000 साल से अधिक होगा, इससे पहले कि यह छोटा स्थान धारक अपने आप में एक नंबर बन जाएगा। संख्याओं की ऐसी परिष्कृत प्रणाली स्थापित करने के बाद, उन्होंने मेसोपोटामिया के माध्यम से चलने वाली शुष्क और दुर्गम भूमि को वश में करने के लिए इसका उपयोग किया। बेबीलोन के इंजीनियरों और सर्वेक्षणकर्ताओं ने पानी तक पहुँचने के सरल तरीके खोजे और इसे फसल के खेतों तक पहुँचाया। फिर भी, उन्होंने समाधान के साथ आने के लिए गणित का उपयोग किया। सीरिया में ओरेस्टेस घाटी अभी भी एक कृषि केंद्र है, और सिंचाई के पुराने तरीकों का आज भी शोषण किया जा रहा है, जैसे कि वे हजारों साल पहले थे।
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बेबीलोन के गणित में कई समस्याएं भूमि को मापने से संबंधित हैं, और यहाँ हम पहली बार द्विघात समीकरणों के उपयोग को देखते हैं , जो बेबीलोन के गणित की सबसे बड़ी विरासतों में से एक है। द्विघात समीकरणों में वे चीजें शामिल होती हैं, जहां आप जिस अज्ञात मात्रा को पहचानने का प्रयास कर रहे हैं, वह स्वयं से गुणा होती है। हम इस वर्ग को कहते हैं क्योंकि यह एक वर्ग का क्षेत्र देता है, और यह भूमि के क्षेत्र की गणना के संदर्भ में है कि ये प्राकृतिक समीकरण स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। यहाँ एक विशिष्ट समस्या है। यदि किसी क्षेत्र में 55 इकाइयों का क्षेत्र है और एक पक्ष दूसरे की तुलना में छह इकाई लंबा है, तो छोटा पक्ष कितना लंबा है? बेबीलोन समाधान क्षेत्र को एक वर्ग के रूप में फिर से कॉन्फ़िगर करना था। अंत में तीन इकाइयों को काटें और इस दौर को आगे बढ़ाएं। अब, तीन-तीन-तीन टुकड़े गायब हैं, तो चलिए इसे इसमें जोड़ते हैं। क्षेत्र के क्षेत्र में नौ इकाइयों की वृद्धि हुई है।
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यह नया क्षेत्र 64 बनाता है। इसलिए वर्ग के किनारे आठ इकाइयाँ हैं। समस्या-समाधानकर्ता जानता है कि उन्होंने इस तरफ तीन जोड़े हैं। तो, मूल लंबाई पांच होनी चाहिए। यह ऐसा नहीं लग सकता है, लेकिन यह इतिहास के पहले द्विघात समीकरणों में से एक है। आधुनिक गणित में, मैं इस समस्या को हल करने के लिए बीजगणित की प्रतीकात्मक भाषा का उपयोग करूंगा। बेबीलोनियों का अद्भुत पराक्रम यह है कि वे इन ज्यामितीय खेलों का उपयोग मूल्य खोजने के लिए करते थे, बिना किसी प्रतीक या सूत्र के। बेबीलोन के लोग अपने लिए समस्या-समाधान का आनंद ले रहे थे। उन्हें गणित से प्यार हो गया था। संख्याओं के साथ बेबीलोनियों के आकर्षण ने जल्द ही अपने ख़ाली समय में भी जगह बना ली। वे खेल-खिलाड़ी थे। बेबीलोनियन और उनके वंशज 5,000 वर्षों से बैकगैमौन का एक संस्करण चला रहे हैं । बेबीलोनियों ने शाही खेलों में बहुत ही पॉश बोर्ड गेम्स से लेकर स्कूलों में पाए
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जाने वाले बोर्ड गेम्स तक, महलों के प्रवेश द्वारों पर स्क्रैच बोर्ड गेम खेले, ताकि पहरेदार जब ऊब गए हों, तो वे ज़रूर खेले और उन्होंने पासा का इस्तेमाल किया। उनके काउंटरों को गोल करने के लिए। जो लोग गेम खेलते थे वे अपने खाली समय में संख्याओं का उपयोग कर रहे थे और अपने प्रतिद्वंद्वी को आउट करने की कोशिश कर रहे थे , मानसिक अंकगणित बहुत तेजी से कर रहे थे , और इसलिए वे अपने अवकाश के समय में गणना कर रहे थे, यहां तक ​​कि गणितीय मेहनत के बारे में सोचने के बिना। अब मेरा मौका है। 'मैं उम्र के लिए बैकगैमौन नहीं खेला था, लेकिन मैंने अपने गणित पर भरोसा किया और मुझे एक लड़ाई का मौका दिया।' यह आपके ऊपर है। सिक्स ... मुझे कुछ स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। 'लेकिन यह उतना आसान नहीं था जितना मैंने सोचा था।' आह! वह क्या बकवास था? हाँ। यह एक है, यह दो है। अब तुम मुश्किल में हो। इसलिए मैं कुछ भी स्थानांतरित नहीं कर सकता। आप इन्हें स्थानांतरित नहीं कर सकते। हे भगवान। तुम वहाँ जाओ। तीन और चार। 'प्राचीन बेबीलोनियों की तरह, मेरे प्रतिद्वंद्वी सामरिक गणित के स्वामी थे।'
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हाँ। इसे वहाँ रखो। अच्छा खेल। बेबीलोनियों को पासा बनाने के लिए सममित गणितीय आकृतियों का उपयोग करने वाली पहली संस्कृतियों में से एक के रूप में पहचाना जाता है, लेकिन इस बारे में अधिक गर्म बहसें हैं कि क्या वे भी किसी अन्य महत्वपूर्ण आकार के रहस्यों की खोज करने वाले पहले व्यक्ति हो सकते हैं । समकोण त्रिभुज। हम पहले ही देख चुके हैं कि मिस्रवासी 3-4-5 समकोण त्रिभुज का उपयोग कैसे करते हैं। लेकिन बेबीलोनियों को इस आकृति के बारे में क्या पता था और अन्य लोग इसे बहुत अधिक परिष्कृत करते हैं। यह हमारे पास सबसे प्रसिद्ध और विवादास्पद प्राचीन टैबलेट है। इसे प्लिम्पटन 322 कहा जाता है। कई गणितज्ञों का मानना ​​है कि यह दर्शाता है कि बेबीलोनवासी अच्छी तरह से समकोण त्रिभुजों के बारे में सिद्धांत को जान सकते थे, कि विकर्ण पर वर्ग पक्षों पर वर्गों का योग है, और इसे सदियों पहले यूनानियों ने दावा किया था। । यह यकीनन सबसे प्रसिद्ध बेबीलोनियन टैबलेट की एक प्रति है, जो कि प्लिम्प्टन 322 है, और यहाँ ये संख्याएँ किसी त्रिभुज की चौड़ाई या ऊँचाई को दर्शाती हैं,
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यह तिरछे होने के कारण, दूसरी तरफ यहाँ होगा, और इस स्तंभ का वर्ग इस कॉलम में संख्या का वर्ग विकर्ण के वर्ग के बराबर है। वे बहुत ही समान आधार पर लगातार घटते कोण के क्रम में व्यवस्थित होते हैं , यह दिखाते हैं कि किसी को बहुत समझ थी कि अंक एक साथ कैसे फिट होते हैं। यहां 15 परिपूर्ण पाइथागोरस त्रिभुज थे, जिनके सभी पक्षों की पूरी-पूरी लंबाई थी। यह सोचना आकर्षक है कि बेबीलोन पहले पायथागोरस प्रमेय के संरक्षक थे, और यह एक निष्कर्ष है कि इतिहासकारों की पीढ़ियों को बहकाया गया है। लेकिन पाइथागोरस के प्रमेय को पूरा करने वाले तीन नंबरों के सेट के लिए बहुत सरल स्पष्टीकरण हो सकता है। यह पाइथागोरस त्रिगुणों की एक व्यवस्थित व्याख्या नहीं है, यह बस एक गणित शिक्षक है जो कुछ काफी जटिल गणनाएं कर रहा है, लेकिन कुछ बहुत ही सरल संख्याओं का उत्पादन करने के लिए,
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ताकि उसके छात्रों को समकोण त्रिभुज के बारे में समस्या हो सके, और इसमें वह पाइथागोरस के बारे में है केवल आकस्मिक रूप से त्रिगुण। सबसे मूल्यवान सुराग जो उन्हें समझ में आया वह कहीं और झूठ हो सकता है। यह छोटा स्कूल व्यायाम टैबलेट लगभग 4,000 साल पुराना है और यह बताता है कि बाबुल के लोगों ने समकोण त्रिभुजों के बारे में क्या बताया। यह एक आश्चर्यजनक नई संख्या के मूल्य को खोजने के लिए पाइथागोरस के प्रमेय के एक सिद्धांत का उपयोग करता है। विकर्ण के साथ बनाया गया दो के वर्गमूल के लिए वास्तव में बहुत अच्छा सन्निकटन है, और इसलिए हमें पता चलता है कि यह स्कूल के वातावरण में जाना जाता था और इसका उपयोग किया जाता था। यह महत्वपूर्ण क्यों है? क्योंकि दो का वर्गमूल वह है जिसे अब हम एक अपरिमेय संख्या कहते हैं, अर्थात, यदि हम इसे दशमलव में लिखते हैं, या यहां तक ​​कि सेक्सिगेसिमल स्थानों में, यह समाप्त नहीं होता है, तो दशमलव बिंदु के बाद संख्या हमेशा के लिए चली जाती है।
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इस गणना के निहितार्थ दूरगामी हैं। सबसे पहले, इसका मतलब है कि बेबीलोन के लोग पाइथागोरस से 1,000 साल पहले पाइथागोरस के प्रमेय के बारे में कुछ जानते थे । दूसरे, तथ्य यह है कि वे चार दशमलव स्थानों की सटीकता के लिए इस संख्या की गणना कर सकते हैं एक अद्भुत अंकगणितीय सुविधा, साथ ही गणितीय विस्तार के लिए एक जुनून दिखाता है। बेबीलोनियों की गणितीय निपुणता अचरज में थी, और लगभग 2,000 वर्षों तक उन्होंने प्राचीन विश्व में बौद्धिक प्रगति को गति दी। लेकिन जब उनकी शाही ताकत कम होने लगी, तो उन्होंने अपनी बौद्धिक शक्ति बढ़ाई। 330BC तक, यूनानियों ने अपनी शाही पहुंच को पुराने मेसोपोटामिया में बदल दिया था। यह मध्य सीरिया में पाल्मायरा है, जो यूनानियों द्वारा बनाया गया एक महान शहर है। ऐसे ज्यामितीय पूर्णता के साथ संरचनाओं के निर्माण के लिए आवश्यक गणितीय विशेषज्ञता प्रभावशाली है। उनके पहले बेबीलोनियों की तरह, यूनानियों को गणित का शौक था।
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यूनानी चतुर उपनिवेशवादी थे। उन्होंने अपनी स्वयं की शक्ति और प्रभाव को आगे बढ़ाने के लिए जिन सभ्यताओं पर आक्रमण किया, उनमें से उन्होंने सबसे अच्छा लिया , लेकिन वे जल्द ही अपना योगदान दे रहे थे। मेरी राय में, उनका सबसे बड़ा नवाचार दिमाग में बदलाव के साथ करना था। उन्होंने जो शुरू किया वह सदियों तक मानवता को प्रभावित करेगा। उन्होंने हमें प्रमाण की शक्ति दी। किसी तरह उन्होंने फैसला किया कि उनके पास अपने गणित के लिए एक आगमनात्मक प्रणाली होनी चाहिए और विशिष्ट निगमनात्मक प्रणाली को कुछ स्वयंसिद्धों के साथ शुरू करना था, जो आप मानते हैं कि यह सच है। यह ऐसा है मानो आप किसी सिद्ध प्रमेय को सिद्ध किए बिना सत्य हैं। और फिर, तार्किक तरीकों और बहुत सावधानी से कदमों का उपयोग करते हुए, इन स्वयंसिद्धों से आप प्रमेय साबित करते हैं और उन प्रमेयों से आप अधिक प्रमेय साबित करते हैं, और यह सिर्फ स्नोबॉल है। प्रमाण वही है जो गणित को उसकी ताकत देता है। यह शक्ति या प्रमाण है जिसका अर्थ है कि यूनानियों की खोज आज भी उतनी ही सच है जितनी 2,000 साल पहले थी।
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मुझे अधिक जानने के लिए पुराने ग्रीक साम्राज्य के दिल में पश्चिम की ओर सिर करने की आवश्यकता थी। मेरे लिए, ग्रीक गणित हमेशा से ही वीर और रोमांटिक रहा है। मैं समोसे के लिए अपने रास्ते पर हूँ, जो तुर्की तट से एक मील से भी कम दूरी पर है। यह स्थान ग्रीक गणित के जन्म का पर्याय बन गया है, और यह एक आदमी की कथा के लिए नीचे है। उसका नाम पाइथागोरस है। उनके जीवन और काम के चारों ओर की किंवदंतियों ने पिछले 2,000 वर्षों में सेलिब्रिटी की स्थिति में योगदान दिया है। उन्होंने आज जिस विश्लेषणात्मक विषय को मान्यता दी है, उसके हिसाब से गणित से परिवर्तन की शुरुआत करने का श्रेय सही या गलत तरीके से दिया जाता है। पाइथागोरस एक विवादास्पद व्यक्ति है। क्योंकि उन्होंने कोई गणितीय लेखन नहीं छोड़ा, कई ने सवाल किया है कि क्या उन्होंने वास्तव में उनके लिए जिम्मेदार किसी भी प्रमेय को हल किया है। उन्होंने छठी शताब्दी ईसा पूर्व में समोस में एक स्कूल की स्थापना की, लेकिन उनकी शिक्षाओं को संदिग्ध माना गया और पाइथागोरस एक विचित्र संप्रदाय।
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इस बात के अच्छे प्रमाण हैं कि पाइथागोरस के स्कूल थे, और वे संप्रदायों की तुलना में अधिक देखे जा सकते थे, जो कि हम दार्शनिक स्कूलों के साथ जुड़े थे, क्योंकि वे सिर्फ ज्ञान साझा नहीं करते थे, उन्होंने जीवन का एक तरीका भी साझा किया। साम्प्रदायिक जीवन हो सकता था और वे सभी अपने शहरों की राजनीति में शामिल थे। एक विशेषता जो उन्हें प्राचीन दुनिया में असामान्य बनाती है, वह यह है कि उनमें महिलाएं शामिल थीं। लेकिन पाइथागोरस कुछ समझने का पर्याय है जो मिस्रियों और बेबीलोनियों को हटा देता है - समकोण त्रिभुजों के गुण। पाइथागोरस के प्रमेय के रूप में जाना जाता है जो बताता है कि यदि आप किसी भी समकोण त्रिभुज को लेते हैं , तो सभी पक्षों पर वर्ग बनाते हैं, तो सबसे बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दो छोटे पक्षों पर वर्गों के योग के बराबर होता है। यह मेरे लिए इस बिंदु पर है कि गणित का जन्म हुआ है और अन्य विज्ञानों के बीच एक खाई खुल गई है, और इसका प्रमाण उतना ही सरल है जितना कि इसके निहितार्थ में विनाशकारी।
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Place four copies of the right-angled triangle on top of this surface. The square that you now see has sides equal to the hypotenuse of the triangle. By sliding these triangles around, we see how we can break the area of the large square up into the sum of two smaller squares, whose sides are given by the two short sides of the triangle. In other words, the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the other sides. पाइथागोरस प्रमेय। It illustrates one of the characteristic themes of Greek mathematics - the appeal to beautiful arguments in geometry rather than a reliance on number. Pythagoras may have fallen out of favour and many of the discoveries accredited to him have been contested recently, but there's one mathematical theory that I'm loath to take away from him. It's to do with music and the discoveryof the harmonic series. The story goes that, walking past a blacksmith's one day, Pythagoras heard anvils being struck,
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and noticed how the notes being produced sounded in perfect harmony. He believed that there must be some rational explanation to make sense of why the notes sounded so appealing. The answer was mathematics. Experimenting with a stringed instrument, Pythagoras discovered that the intervals between harmonious musical notes were always represented as whole-number ratios. And here's how he might have constructed his theory. First, play a note on the open string. MAN PLAYS NOTE Next, take half the length. The note almost sounds the same as the first note. In fact it's an octave higher, but the relationship is so strong, we give these notes the same name. Now take a third the length. We get another note which sounds harmonious next to the first two, but take a length of string which is not in a whole-number ratio and all we get is dissonance. According to legend, Pythagoras was so excited by this discovery that he concluded the whole universe was built from numbers.
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But he and his followers were in for a rather unsettling challenge to their world view and it came about as a result of the theorem which bears Pythagoras' name. Legend has it, one of his followers, a mathematician called Hippasus, set out to find the length of the diagonal for a right-angled triangle with two sides measuring one unit. Pythagoras' theorem implied that the length of the diagonal was a number whose square was two. The Pythagoreans assumed that the answer would be a fraction, but when Hippasus tried to express it in this way, no matter how he tried, he couldn't capture it. Eventually he realised his mistake. It was the assumption that the value was a fraction at all which was wrong. The value of the square root of two was the number that the Babylonians etched into the Yale tablet. However, they didn't recognise the special character of this number. But Hippasus did. It was an irrational number.
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The discovery of this new number, and others like it, is akin to an explorer discovering a new continent, or a naturalist finding a new species. But these irrational numbers didn't fit the Pythagorean world view. Later Greek commentators tell the story of how Pythagoras swore his sect to secrecy, but Hippasus let slip the discovery and was promptly drowned for his attempts to broadcast their research. But these mathematical discoveries could not be easily suppressed. Schools of philosophy and science started to flourish all over Greece, building on these foundations. The most famous of these was the Academy. Plato founded this school in Athens in 387 BC. Although we think of him today as a philosopher, he was one of mathematics' most important patrons. Plato was enraptured by the Pythagorean world view and considered mathematics the bedrock of knowledge. Some people would say that Plato is the most influential figure
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for our perception of Greek mathematics. He argued that mathematics is an important form of knowledge and does have a connection with reality. So by knowing mathematics, we know more about reality. In his dialogue Timaeus, Plato proposes the thesis that geometry is the key to unlocking the secrets of the universe, a view still held by scientists today. Indeed, the importance Plato attached to geometry is encapsulated in the sign that was mounted above the Academy, "Let no-one ignorant of geometry enter here." Plato proposed that the universe could be crystallised into five regular symmetrical shapes. These shapes, which we now call the Platonic solids, were composed of regular polygons, assembled to create three-dimensional symmetrical objects. The tetrahedron represented fire. The icosahedron, made from 20 triangles, represented water. The stable cube was Earth.
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The eight-faced octahedron was air. And the fifth Platonic solid, the dodecahedron, made out of 12 pentagons, was reserved for the shape that captured Plato's view of the universe. Plato's theory would have a seismic influence and continued to inspire mathematicians and astronomers for over 1,500 years. In addition to the breakthroughs made in the Academy, mathematical triumphs were also emerging from the edge of the Greek empire, and owed as much to the mathematical heritage of the Egyptians as the Greeks. Alexandria became a hub of academic excellence under the rule of the Ptolemies in the 3rd century BC, and its famous library soon gained a reputation to rival Plato's academy. The kings of Alexandria were prepared to invest in the arts and culture, in technology, mathematics, grammar, because patronage for cultural pursuits
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was one way of showing that you were a more prestigious ruler, and had a better entitlement to greatness. The old library and its precious contents were destroyed when the Muslims conquered Egypt in the 7th Century. But its spirit is alive in a new building. Today, the library remains a place of discovery and scholarship. Mathematicians and philosophers flocked to Alexandria, driven by their thirst for knowledge and the pursuit of excellence. The patrons of the library were the first professional scientists, individuals who were paid for their devotion to research. But of all those early pioneers, my hero is the enigmatic Greek mathematician Euclid. We know very little about Euclid's life, but his greatest achievements were as a chronicler of mathematics. Around 300 BC, he wrote the most important text book of all time - The Elements. In The Elements, we find the culmination of the mathematical revolution
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which had taken place in Greece. It's built on a series of mathematical assumptions, called axioms. For example, a line can be drawn between any two points. From these axioms, logical deductions are made and mathematical theorems established. The Elements contains formulas for calculating the volumes of cones and cylinders, proofs about geometric series, perfect numbers and primes. The climax of The Elements is a proof that there are only five Platonic solids. For me, this last theorem captures the power of mathematics. It's one thing to build five symmetrical solids, quite another to come up with a watertight, logical argument for why there can't be a sixth. The Elements unfolds like a wonderful, logical mystery novel. But this is a story which transcends time. Scientific theories get knocked down, from one generation to the next, but the theorems in The Elements are as true today as they were 2,000 years ago.
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When you stop and think about it, it's really amazing. It's the same theorems that we teach. We may teach them in a slightly different way, we may organise them differently, but it's Euclidean geometry that is still valid, and even in higher mathematics, when you go to higher dimensional spaces, you're still using Euclidean geometry. Alexandria must have been an inspiring place for the ancient scholars, and Euclid's fame would have attracted even more eager, young intellectuals to the Egyptian port. One mathematician who particularly enjoyed the intellectual environment in Alexandria was Archimedes. He would become a mathematical visionary. The best Greek mathematicians, they were always pushing the limits, pushing the envelope. So, Archimedes... did what he could with polygons, with solids. He then moved on to centres of gravity. He then moved on to the spiral.
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This instinct to try and mathematise everything is something that I see as a legacy. One of Archimedes' specialities was weapons of mass destruction. They were used against the Romans when they invaded his home of Syracuse in 212 BC. He also designed mirrors, which harnessed the power of the sun, to set the Roman ships on fire. But to Archimedes, these endeavours were mere amusements in geometry. He had loftier ambitions. Archimedes was enraptured by pure mathematics and believed in studying mathematics for its own sake and not for the ignoble trade of engineering or the sordid quest for profit. One of his finest investigations into pure mathematics was to produce formulas to calculate the areas of regular shapes. Archimedes' method was to capture new shapes by using shapes he already understood. So, for example, to calculate the area of a circle,
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he would enclose it inside a triangle, and then by doubling the number of sides on the triangle, the enclosing shape would get closer and closer to the circle. Indeed, we sometimes call a circle a polygon with an infinite number of sides. But by estimating the area of the circle, Archimedes is, in fact, getting a value for pi, the most important number in mathematics. However, it was calculating the volumes of solid objects where Archimedes excelled. He found a way to calculate the volume of a sphere by slicing it up and approximating each slice as a cylinder. He then added up the volumes of the slices to get an approximate value for the sphere. But his act of genius was to see what happens if you make the slices thinner and thinner. In the limit, the approximation becomes an exact calculation. But it was Archimedes' commitment to mathematics that would be his undoing. Archimedes was contemplating a problem about circles traced in the sand.
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When a Roman soldier accosted him, Archimedes was so engrossed in his problem that he insisted that he be allowed to finish his theorem. But the Roman soldier was not interested in Archimedes' problem and killed him on the spot. Even in death, Archimedes' devotion to mathematics was unwavering. By the middle of the 1st Century BC, the Romans had tightened their grip on the old Greek empire. They were less smitten with the beauty of mathematics and were more concerned with its practical applications. This pragmatic attitude signalled the beginning of the end for the great library of Alexandria. But one mathematician was determined to keep the legacy of the Greeks alive. Hypatia was exceptional, a female mathematician, and a pagan in the piously Christian Roman empire. Hypatia was very prestigious and very influential in her time. She was a teacher with a lot of students, a lot of followers.
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She was politically influential in Alexandria. So it's this combination of... high knowledge and high prestige that may have made her a figure of hatred for... the Christian mob. One morning during Lent, Hypatia was dragged off her chariot by a zealous Christian mob and taken to a church. There, she was tortured and brutally murdered. The dramatic circumstances of her life and death fascinated later generations. Sadly, her cult status eclipsed her mathematical achievements. She was, in fact, a brilliant teacher and theorist, and her death dealt a final blow to the Greek mathematical heritage of Alexandria. My travels have taken me on a fascinating journey to uncover the passion and innovation of the world's earliest mathematicians. It's the breakthroughs made by those early pioneers of Egypt, Babylon and Greece
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that are the foundations on which my subject is built today. But this is just the beginning of my mathematical odyssey. The next leg of my journey lies east, in the depths of Asia, where mathematicians scaled even greater heights in pursuit of knowledge. With this new era came a new language of algebra and numbers, better suited to telling the next chapter in the story of maths. You can learn more about the story of maths with the Open University at...

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