BBC. The Story of Maths. The Language of the Universe

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Nuestro mundo está formado por patrones y secuencias. Están a nuestro alrededor. El día se convierte en noche. Los animales viajan por la tierra en formaciones en constante cambio. Los paisajes se modifican constantemente. Una de las razones por las que comenzaron las matemáticas fue porque necesitábamos encontrar una manera de dar sentido a estos patrones naturales. Los conceptos más básicos de las matemáticas, espacio y cantidad, están integrados en nuestro cerebro. Incluso los animales tienen un sentido de la distancia y el número, evaluando cuándo su manada es superada en número y si luchar o volar, calculando si su presa está a una distancia de ataque. Comprender las matemáticas es la diferencia entre la vida y la muerte. Pero fue el hombre quien tomó estos conceptos básicos y comenzó a construir sobre estos cimientos. En algún momento, los humanos comenzaron a detectar patrones, a hacer conexiones, a contar y a ordenar el mundo que los rodeaba.
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Con esto, comenzó a surgir un universo matemático completamente nuevo. Este es el río Nilo. Ha sido el sustento de Egipto durante milenios. Vine aquí porque es donde surgieron algunos de los primeros signos de las matemáticas tal como las conocemos hoy. La gente abandonó la vida nómada y comenzó a establecerse aquí ya en el 6000 a. C. Las condiciones eran perfectas para la agricultura. El evento más importante para la agricultura egipcia cada año fue la inundación del Nilo. Entonces esto se usó como un marcador para comenzar cada año nuevo. Los egipcios registraron lo que sucedió durante períodos de tiempo, por lo que para establecer un calendario como este, debe contar cuántos días, por ejemplo, sucedieron entre las fases lunares o cuántos días sucedieron entre dos inundaciones. del Nilo. Registrar los patrones de las estaciones era esencial, no solo para su manejo de la tierra, sino también para su religión.
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Los antiguos egipcios que se asentaron en las orillas del Nilo creían que era el dios del río, Hapy, quien lo inundaba cada año. Y a cambio del agua que da vida, los ciudadanos ofrecieron una parte del rendimiento como agradecimiento. A medida que los asentamientos crecieron, se hizo necesario encontrar formas de administrarlos. Era necesario calcular las superficies de tierra, predecir los rendimientos de los cultivos, cobrar y cotejar los impuestos. En resumen, la gente necesitaba contar y medir. Los egipcios usaban sus cuerpos para medir el mundo, y así es como evolucionaron sus unidades de medida. Una palma tenía el ancho de una mano, un codo el largo de un brazo desde el codo hasta la punta de los dedos. Los codos de tierra, franjas de tierra que medían un codo por 100, fueron utilizados por los topógrafos del faraón para calcular áreas. Existe un vínculo muy fuerte entre la burocracia y el desarrollo de las matemáticas en el antiguo Egipto. Y podemos ver este vínculo desde el principio, desde la invención del sistema numérico, a lo
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largo de la historia de Egipto, en realidad. Para el Reino Antiguo, la única evidencia que tenemos son los sistemas metrológicos, es decir, mediciones de áreas, de longitud. Esto apunta a una necesidad burocrática de desarrollar tales cosas. Era vital conocer el área de la tierra de un agricultor para que pudiera pagar los impuestos correspondientes. O si el Nilo le robaba parte de su tierra, para que pudiera solicitar un reembolso. Significaba que los topógrafos del faraón a menudo calculaban el área de parcelas de tierra irregulares. Fue la necesidad de resolver estos problemas prácticos lo que los convirtió en los primeros innovadores matemáticos. Los egipcios necesitaban alguna forma de registrar los resultados de sus cálculos. Entre todos los jeroglíficos que cubren los recuerdos turísticos esparcidos por El Cairo, estaba a la caza de aquellos que registraron algunos de los primeros números de la historia. Fueron difíciles de localizar. Pero los encontré al final. Los egipcios usaban un sistema decimal, motivado por los diez dedos de nuestras manos.
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El signo de uno era un golpe, 10, un hueso del talón, 100, un rollo de cuerda y 1.000, una planta de loto. ¿Cuánto cuesta esta remera? Er, 25. 25! Sí! Así que serían 2 huesos de rodilla y 5 golpes. ¿Entonces no me va a cobrar nada aquí arriba? ¡Aquí, un millón! ¿Un millón? ¡Dios mío! Este millón. Un millón, sí, ¡eso es bastante grande! Los jeroglíficos son hermosos, pero el sistema numérico egipcio era fundamentalmente defectuoso. No tenían el concepto de valor posicional, por lo que un trazo solo podía representar una unidad, no 100 o 1,000. Aunque puedes escribir un millón con un solo carácter, en lugar de los siete que usamos, si quieres escribir un millón menos uno, entonces el pobre y viejo escriba egipcio tiene que escribir nueve trazos, nueve huesos del talón, nueve vueltas de cuerda. y así sucesivamente, un total de 54 caracteres. A pesar de los inconvenientes de este sistema numérico, los egipcios eran brillantes solucionadores de problemas.
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Lo sabemos por los pocos registros que han sobrevivido. Los escribas egipcios utilizaron hojas de papiro para registrar sus descubrimientos matemáticos. Este delicado material hecho de juncos se descompuso con el tiempo y muchos secretos perecieron con él. Pero hay un documento revelador que ha sobrevivido. El papiro matemático de Rhind es el documento más importante que tenemos hoy para las matemáticas egipcias. Obtenemos una buena descripción general de los tipos de problemas que los egipcios habrían abordado en sus matemáticas. También se indica explícitamente cómo se llevaron a cabo las multiplicaciones y divisiones. Los papiros muestran cómo multiplicar dos números grandes juntos. Pero para ilustrar el método, tomemos dos números más pequeños. Hagamos tres por seis. El escriba tomaría el primer número, tres, y lo pondría en una columna. En la segunda columna, colocaría el número uno. Luego duplicaría los números en cada columna, por lo que tres se convertirían en seis ... ...
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y seis se convertirían en 12. Y luego, en la segunda columna, uno se convertiría en dos y dos en cuatro. Ahora, aquí está la parte realmente inteligente. El escriba quiere multiplicar tres por seis. Así que toma las potencias de dos en la segunda columna, que suman seis. Eso es dos más cuatro. Luego regresa a la primera columna y simplemente toma las filas correspondientes al dos y al cuatro. Así que eso es seis y el 12. Los suma para obtener la respuesta de 18. Pero para mí, lo más sorprendente de este método es que el escriba ha escrito efectivamente ese segundo número en binario. Seis es un lote de cuatro, un lote de dos y ninguna unidad. Que es 1-1-0. Los egipcios han entendido el poder del binario más de 3.000 años antes de que el matemático y filósofo Leibniz revelara su potencial. Hoy, todo el mundo tecnológico depende de los mismos principios que se usaban en el antiguo Egipto.
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El papiro de Rhind fue grabado por un escriba llamado Ahmes alrededor de 1650 a. C. Sus problemas tienen que ver con encontrar soluciones a situaciones cotidianas. Varios de los problemas mencionan el pan y la cerveza, lo que no es sorprendente ya que a los trabajadores egipcios se les pagaba en comida y bebida. A uno le preocupa cómo dividir nueve panes en partes iguales entre 10 personas, sin que se desate una pelea. Tengo nueve hogazas de pan aquí. Tomaré cinco de ellos y los cortaré en mitades. Por supuesto, nueve personas podrían cortar una décima parte de su pan y darle el montón de migas a la décima persona. Pero los egipcios desarrollaron una solución mucho más elegante: tomar los siguientes cuatro y dividirlos en tercios. Pero ahora voy a cortar dos de los tercios en quintos, por lo que cada pieza será un decimoquinto. Luego, cada persona obtiene la mitad y un tercio y un decimoquinto.
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Es a través de estos problemas aparentemente prácticos que comenzamos a ver el desarrollo de una matemática más abstracta. De repente, aparecen nuevos números, fracciones, y no pasa mucho tiempo antes de que los egipcios exploren las matemáticas de estos números. Las fracciones son claramente de importancia práctica para cualquiera que divida cantidades para comerciar en el mercado. Para registrar estas transacciones, los egipcios desarrollaron una notación que registraba estos nuevos números. Una de las primeras representaciones de estas fracciones provino de un jeroglífico que tenía un gran significado místico. Se llama el Ojo de Horus. Horus era un dios del Reino Antiguo, representado como mitad hombre, mitad halcón. Según la leyenda, el padre de Horus fue asesinado por su otro hijo, Seth. Horus estaba decidido a vengar el asesinato. Durante una batalla particularmente feroz, Seth le arrancó el ojo a Horus, lo rompió y lo esparció por Egipto. Pero los dioses miraban favorablemente a Horus.
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Recogieron las piezas esparcidas y volvieron a montar el ojo. Cada parte del ojo representaba una fracción diferente. Cada uno, la mitad de la fracción anterior. Aunque el ojo original representaba una unidad completa, el ojo reensamblado es 1/64 corto. Aunque los egipcios se detuvieron en 1/64, está implícita en esta imagen la posibilidad de sumar más fracciones, dividiéndolas a la mitad cada vez, la suma acercándose cada vez más a una, pero nunca llegando a ella. Este es el primer indicio de algo llamado serie geométrica, y aparece en varios puntos del Papiro Rhind. Pero el concepto de serie infinita permanecería oculto hasta que los matemáticos de Asia lo descubrieran siglos después. Habiendo elaborado un sistema de números, incluidas estas nuevas fracciones, llegó el momento de que los egipcios aplicaran sus conocimientos para comprender las formas que encontraban día a día. Estas formas rara vez eran cuadrados o rectángulos regulares,
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y en el Papiro de Rhind, encontramos el área de una forma más orgánica, el círculo. Lo que es asombroso en el cálculo del área del círculo es su exactitud, en realidad. Cómo habrían encontrado su método está abierto a la especulación, porque los textos que tenemos no nos muestran los métodos de cómo fueron encontrados. Este cálculo es particularmente llamativo porque depende de ver cómo la forma del círculo puede aproximarse a formas que los egipcios ya entendían. El Papiro de Rhind establece que un campo circular con un diámetro de nueve unidades tiene un área cercana a un cuadrado con lados de ocho. Pero, ¿cómo se habría descubierto esta relación? Mi teoría favorita ve la respuesta en el antiguo juego de mancala. Se encontraron tablas de mancala talladas en los techos de los templos. Cada jugador comienza con un número igual de piedras, y el objetivo del juego es moverlas por el tablero,
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capturando las fichas de tu oponente en el camino. Mientras los jugadores esperaban para hacer su siguiente movimiento, tal vez uno de ellos se dio cuenta de que a veces las bolas llenan los agujeros circulares del tablero de mancala de una manera bastante agradable. Podría haber pasado a experimentar tratando de hacer círculos más grandes. Quizás notó que 64 piedras, el cuadrado de 8, se pueden usar para hacer un círculo con nueve piedras de diámetro. Al reorganizar las piedras, el círculo se ha aproximado a un cuadrado. Y debido a que el área de un círculo es pi multiplicado por el radio al cuadrado, el cálculo egipcio nos da el primer valor exacto de pi. El área del círculo es 64. Divida esto por el radio al cuadrado, en este caso 4.5 al cuadrado, y obtendrá un valor para pi. Entonces, 64 dividido por 4.5 al cuadrado es 3.16, un poco menos de dos centésimas de su valor real. Pero lo realmente brillante es que los egipcios están usando estas formas más pequeñas para capturar la forma más grande.
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Pero hay un símbolo imponente y majestuoso de las matemáticas egipcias que aún no hemos intentado desentrañar: la pirámide. He visto tantas imágenes que no podía creer que me impresionarían. Pero al conocerlos cara a cara, comprenderá por qué se les llama una de las Siete Maravillas del Mundo Antiguo. Son simplemente impresionantes. Y cuánto más impresionantes debieron haber sido en su día, cuando los lados eran tan lisos como el vidrio, reflejando el sol del desierto. A mí me parece que podría haber pirámides de espejos escondidas debajo del desierto, que completarían las formas para hacer octaedros perfectamente simétricos. A veces, en el resplandor del calor del desierto, casi puedes ver estas formas. Es el toque de simetría escondido dentro de estas formas lo que las hace tan impresionantes para un matemático. Las pirámides son un poco cortas para crear estas formas perfectas, pero algunos han sugerido que otro concepto matemático importante podría estar oculto dentro de las proporciones de la Gran Pirámide: la proporción áurea.
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Dos longitudes están en la proporción áurea, si la relación de la más larga a la más corta es la misma que la suma de las dos al lado más largo. Tal relación se ha asociado con las proporciones perfectas que se encuentran en todo el mundo natural, así como en el trabajo de artistas, arquitectos y diseñadores durante milenios. Si los arquitectos de las pirámides eran conscientes de esta importante idea matemática, o se sintieron atraídos instintivamente por ella debido a sus satisfactorias propiedades estéticas, nunca lo sabremos. Para mí, lo más impresionante de las pirámides es la brillantez matemática que se utilizó para hacerlas, incluido el primer indicio de uno de los grandes teoremas del mundo antiguo, el teorema de Pitágoras. Para obtener esquinas perfectas en ángulo recto en sus edificios y pirámides, los egipcios habrían usado una cuerda con nudos atados. En algún momento, los egipcios se dieron cuenta de que si tomaban un triángulo con lados marcados con tres nudos, cuatro nudos y cinco nudos, les garantizaba un ángulo recto perfecto.
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Esto se debe a que tres al cuadrado, más cuatro al cuadrado, es igual a cinco al cuadrado. Entonces tenemos un triángulo pitagórico perfecto. De hecho, cualquier triángulo cuyos lados satisfagan esta relación me dará un ángulo de 90 grados. Pero estoy bastante seguro de que los egipcios no habían obtenido esta amplia generalización de su triángulo 3, 4, 5. No esperaríamos encontrar la prueba general porque este no es el estilo de las matemáticas egipcias. Cada problema se resolvió usando números concretos y luego, si se llevara a cabo una verificación al final, usaría el resultado y estos números concretos, dados, no hay prueba general dentro de los textos matemáticos egipcios. Pasarían unos 2.000 años antes de que los griegos y Pitágoras probaran que todos los triángulos rectángulos compartían ciertas propiedades. Ésta no era la única idea matemática que los egipcios anticiparían. En un documento de 4.000 años de antigüedad llamado papiro de Moscú, encontramos una fórmula para el volumen
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de una pirámide con su pico cortado, que muestra el primer indicio de cálculo en funcionamiento. Para una cultura como Egipto, que es famosa por sus pirámides, es de esperar que problemas como este hayan sido una característica habitual en los textos matemáticos. El cálculo del volumen de una pirámide truncada es uno de los bits más avanzados, según nuestros estándares modernos de matemáticas, que tenemos del antiguo Egipto. Los arquitectos e ingenieros ciertamente habrían querido una fórmula de este tipo para calcular la cantidad de materiales necesarios para construirlo. Pero es una señal de la sofisticación de las matemáticas egipcias que fueron capaces de producir un método tan hermoso. Para comprender cómo obtuvieron su fórmula, comience con una pirámide construida de manera que el punto más alto se encuentre directamente sobre una esquina. Tres de estos se pueden juntar para formar una caja rectangular, por lo que el volumen de la pirámide inclinada es un tercio del volumen de la caja.
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Es decir, la altura, multiplicada por la longitud, multiplicada por el ancho, dividida por tres. Ahora viene un argumento que muestra los primeros indicios del cálculo en funcionamiento, miles de años antes de que Gottfried Leibniz e Isaac Newton presentaran la teoría. Suponga que puede cortar la pirámide en rodajas, luego puede deslizar las capas para hacer la pirámide más simétrica que ve en Giza. Sin embargo, el volumen de la pirámide no ha cambiado, a pesar del reordenamiento de las capas. Entonces la misma fórmula funciona. Los egipcios fueron unos innovadores asombrosos, y su capacidad para generar nuevas matemáticas fue asombrosa. Para mí, revelaron el poder de la geometría y los números, y dieron los primeros pasos hacia algunos de los emocionantes descubrimientos matemáticos por venir. Pero había otra civilización que tenía matemáticas para rivalizar con las de Egipto. Y sabemos mucho más sobre sus logros. Esto es Damasco, con más de 5,000 años de antigüedad,
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y aún hoy sigue vibrante y bulliciosa. Solía ​​ser el punto más importante de las rutas comerciales, que unía la antigua Mesopotamia con Egipto. Los babilonios controlaron gran parte de la actual Irak, Irán y Siria, desde 1800 a. C. Para expandir y administrar su imperio, se convirtieron en maestros en la administración y manipulación de números. Tenemos códigos legales, por ejemplo, que nos informan sobre la forma en que se ordena la sociedad. Las personas que más conocemos son los escribas, las personas que saben leer y escribir y que llevan los registros de las familias ricas y de los templos y palacios. Las escuelas de escribanos existieron alrededor del 2500 a. C. Los aspirantes a escribas fueron enviados allí cuando eran niños y aprendieron a leer, escribir y trabajar con números. Los registros de los escribas se mantuvieron en tablas de arcilla, lo que permitió a los babilonios administrar y hacer avanzar su imperio. Sin embargo, muchas de las tabletas que tenemos hoy no son documentos oficiales, sino ejercicios para niños.
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Son estas reliquias poco probables las que nos dan una idea poco común de cómo los babilonios abordaron las matemáticas. Entonces, este es un libro de texto geométrico de aproximadamente el siglo XVIII a. C. Espero que puedas ver que hay muchas fotos en él. Y debajo de cada imagen hay un texto que plantea un problema sobre la imagen. Entonces, por ejemplo, este de aquí dice, dibujé un cuadrado, de 60 unidades de largo, y dentro de él, dibujé cuatro círculos, ¿cuáles son sus áreas? Esta tablilla de aquí fue escrita 1.000 años más tarde que la tablilla de aquí, pero tiene una relación muy interesante. También tiene cuatro círculos, en un cuadrado, dibujados aproximadamente, pero esto no es un libro de texto, es un ejercicio escolar. El escriba adulto que está enseñando al estudiante recibe esto como un ejemplo de tarea completada o algo así. Como los egipcios, los babilonios parecían interesados en resolver problemas prácticos relacionados con medir y pesar.
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Las soluciones babilónicas a estos problemas están escritas como recetas matemáticas. Un escriba simplemente seguiría y registraría un conjunto de instrucciones para obtener un resultado. Aquí hay un ejemplo del tipo de problema que resolverían. Tengo un manojo de ramas de canela aquí, pero no las voy a pesar. En cambio, tomaré cuatro veces su peso y los agregaré a la balanza. Ahora voy a agregar 20 ginebras. La ginebra era la antigua medida de peso babilónica. Tomaré la mitad de todo aquí y luego lo agregaré de nuevo ... Son dos paquetes y diez ginebra. Todo en este lado es igual a un maná. Un maná eran 60 ginebras. Y aquí tenemos una de las primeras ecuaciones matemáticas de la historia, todo de este lado es igual a un maná. Pero, ¿cuánto pesa el paquete de ramas de canela? Sin ningún lenguaje algebraico, fueron capaces de manipular las cantidades para poder demostrar que las ramas de canela pesaban cinco ginebras.
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En mi opinión, es este tipo de problema el que da a las matemáticas un poco de mala fama. Puedes culpar a esos antiguos babilonios de todos esos tortuosos problemas que tuviste en la escuela. Pero los antiguos escribas de Babilonia se destacaron en este tipo de problema. Curiosamente, no estaban usando poderes de 10, como los egipcios, estaban usando poderes de 60. Los babilonios inventaron su sistema numérico, como los egipcios, usando sus dedos. Pero en lugar de contar con los diez dedos de su mano, los babilonios encontraron una forma más intrigante de contar las partes del cuerpo. Utilizaron los 12 nudillos de una mano y los cinco dedos de la otra para poder contar 12 veces 5, es decir, 60 números diferentes. Entonces, por ejemplo, este número habría sido 2 lotes de 12, 24 y luego, 1, 2, 3, 4, 5, para hacer 29. El número 60 tenía otra propiedad poderosa. Se puede dividir perfectamente de muchas formas. Aquí hay 60 frijoles. Puedo organizarlos en 2 filas de 30.
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3 filas de 20. 4 filas de 15. 5 filas de 12. O 6 filas de 10. La divisibilidad de 60 lo convierte en una base perfecta para hacer aritmética. El sistema base 60 fue tan exitoso que todavía usamos elementos de él hoy. Cada vez que queremos decir la hora, reconocemos unidades de 60 a 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora. Pero la característica más importante del sistema numérico de los babilonios era que reconocía el valor posicional. Así como nuestros números decimales cuentan cuántos lotes de decenas, centenas y miles estás registrando, la posición de cada número babilónico registra el poder de 60. En lugar de inventar nuevos símbolos para números cada vez más grandes, escribirían 1-1- 1, por lo que este número sería 3661. El catalizador de este descubrimiento fue el deseo de los babilonios de trazar el curso del cielo nocturno. El calendario de los babilonios se basó en los ciclos de la luna.
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Necesitaban una forma de registrar números astronómicamente grandes. Mes a mes, año a año, se registraron estos ciclos. Aproximadamente desde el 800 aC, había listas completas de eclipses lunares. El sistema de medición babilónico era bastante sofisticado en ese momento. Tenían un sistema de medición angular, 360 grados en un círculo completo, cada grado se dividió en 60 minutos, un minuto se dividió en 60 segundos. Así que tenían un sistema regular de medición y estaba en perfecta armonía con su sistema numérico, por lo que es muy adecuado no solo para la observación sino también para el cálculo. Pero para calcular y hacer frente a estos grandes números, los babilonios necesitaban inventar un nuevo símbolo. Y al hacerlo, prepararon el terreno para uno de los grandes avances en la historia de las matemáticas: cero. En los primeros días, los babilonios, para marcar un lugar vacío en medio de un número, simplemente dejaban un espacio en blanco.
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Entonces necesitaban una forma de representar nada en medio de un número. Entonces usaron un signo, como una especie de marcador de respiración, un signo de puntuación, y llega a significar cero en medio de un número. Esta fue la primera vez que el cero, en cualquier forma, apareció en el universo matemático. Pero pasarían más de 1.000 años antes de que este pequeño lugar se convirtiera en un número por derecho propio. Habiendo establecido un sistema de números tan sofisticado, lo aprovecharon para domesticar la tierra árida e inhóspita que atravesaba Mesopotamia. Los ingenieros y topógrafos babilónicos encontraron formas ingeniosas de acceder al agua y canalizarla hacia los campos de cultivo. Una vez más, utilizaron las matemáticas para encontrar soluciones. El valle de Orontes en Siria sigue siendo un centro agrícola y los antiguos métodos de riego se están explotando hoy, tal como lo fueron hace miles de años.
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Muchos de los problemas en las matemáticas babilónicas tienen que ver con la medición de la tierra, y es aquí donde vemos por primera vez el uso de ecuaciones cuadráticas, uno de los mayores legados de las matemáticas babilónicas. Las ecuaciones cuadráticas involucran cosas en las que la cantidad desconocida que está tratando de identificar se multiplica por sí misma. A esto lo llamamos cuadrado porque da el área de un cuadrado, y es en el contexto del cálculo del área de tierra donde surgen naturalmente estas ecuaciones cuadráticas. He aquí un problema típico. Si un campo tiene un área de 55 unidades y un lado es seis unidades más largo que el otro, ¿cuánto mide el lado más corto? La solución babilónica fue reconfigurar el campo como un cuadrado. Corta tres unidades del extremo y mueve esta ronda. Ahora, falta una pieza de tres por tres, así que agreguemos esto. El área del campo ha aumentado en nueve unidades.
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Esto hace que la nueva área sea 64. Entonces, los lados del cuadrado son ocho unidades. El solucionador de problemas sabe que han agregado tres a este lado. Entonces, la longitud original debe ser cinco. Puede que no lo parezca, pero esta es una de las primeras ecuaciones cuadráticas de la historia. En matemáticas modernas, usaría el lenguaje simbólico del álgebra para resolver este problema. La asombrosa hazaña de los babilonios es que estaban usando estos juegos geométricos para encontrar el valor, sin recurrir a símbolos o fórmulas. Los babilonios disfrutaban de la resolución de problemas por sí misma. Se estaban enamorando de las matemáticas. La fascinación de los babilonios por los números pronto encontró también un lugar en su tiempo libre. Eran jugadores ávidos. Los babilonios y sus descendientes han estado jugando una versión de backgammon durante más de 5.000 años. Los babilonios jugaban juegos de mesa, desde juegos de mesa muy elegantes en tumbas reales hasta pequeños juegos de mesa que se encuentran en las escuelas,
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hasta juegos de mesa rayados en las entradas de los palacios, de modo que el guardia debe haber jugado cuando estaban aburridos, y usaban dados. para mover sus contadores. Las personas que jugaban juegos usaban números en su tiempo libre para tratar de burlar a su oponente, haciendo aritmética mental muy rápido, por lo que estaban calculando en su tiempo libre, sin siquiera pensar en ello como un trabajo matemático duro. Ahora es mi oportunidad. "No había jugado al backgammon durante mucho tiempo, pero pensé que mis matemáticas me darían una oportunidad de luchar". Depende de ti Seis ... Necesito mover algo. Pero no fue tan fácil como pensaba. ¡Ah! ¿Que demonios fue eso? Sí, este es uno, estos son dos. Ahora estás en problemas. Entonces no puedo mover nada. No puedes moverlos. Oh Dios mío. Ahí tienes. Tres y cuatro. "Al igual que los antiguos babilonios, mis oponentes eran maestros de las matemáticas tácticas".
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Si. Ponlo ahí. Buen juego. Los babilonios son reconocidos como una de las primeras culturas en usar formas matemáticas simétricas para hacer dados, pero hay debates más acalorados sobre si también podrían haber sido los primeros en descubrir los secretos de otra forma importante. El triángulo rectángulo. Ya hemos visto cómo los egipcios usan un triángulo rectángulo 3-4-5. Pero lo que los babilonios sabían sobre esta forma y otras similares es mucho más sofisticado. Esta es la tablilla antigua más famosa y controvertida que tenemos. Se llama Plimpton 322. Muchos matemáticos están convencidos de que muestra que los babilonios bien podrían haber conocido el principio de los triángulos rectángulos, que el cuadrado de la diagonal es la suma de los cuadrados de los lados, y lo sabían siglos antes de que los griegos lo afirmaran. . Esta es una copia de posiblemente la tablilla babilónica más famosa, que es Plimpton 322, y estos números aquí reflejan el ancho o alto de un triángulo,
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siendo esta la diagonal, el otro lado estaría aquí y el cuadrado de esta columna más el cuadrado del número en esta columna es igual al cuadrado de la diagonal. Están dispuestos en un orden de ángulo decreciente de manera constante, sobre una base muy uniforme, lo que demuestra que alguien tenía mucha comprensión de cómo encajan los números. Aquí había 15 triángulos pitagóricos perfectos, todos cuyos lados tenían longitudes de números enteros. Es tentador pensar que los babilonios fueron los primeros custodios del teorema de Pitágoras, y es una conclusión que ha seducido a generaciones de historiadores. Pero podría haber una explicación mucho más simple para los conjuntos de tres números que cumplen con el teorema de Pitágoras. No es una explicación sistemática de los triples pitagóricos, es simplemente un profesor de matemáticas que hace unos cálculos bastante complicados, pero para producir algunos números muy simples,
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para plantear problemas a sus alumnos sobre triángulos rectángulos, y en ese sentido se trata de Pitágoras. triplica sólo de forma incidental. Las pistas más valiosas de lo que entendieron podrían estar en otra parte. Esta pequeña tableta de ejercicio escolar tiene casi 4.000 años y revela lo que los babilonios sabían sobre los triángulos rectángulos. Utiliza un principio del teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un asombroso número nuevo. Dibujado a lo largo de la diagonal es una aproximación realmente muy buena a la raíz cuadrada de dos, y eso nos muestra que era conocido y utilizado en entornos escolares. ¿Por qué es esto importante? Porque la raíz cuadrada de dos es lo que ahora llamamos un número irracional, es decir, si lo escribimos en decimales, o incluso en lugares sexigesimales, no termina, los números continúan indefinidamente después del punto decimal.
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Las implicaciones de este cálculo son de gran alcance. En primer lugar, significa que los babilonios sabían algo del teorema de Pitágoras 1.000 años antes que Pitágoras. En segundo lugar, el hecho de que puedan calcular este número con una precisión de cuatro decimales demuestra una asombrosa facilidad aritmética, así como una pasión por los detalles matemáticos. La destreza matemática de los babilonios fue asombrosa y durante casi 2000 años encabezaron el progreso intelectual en el mundo antiguo. Pero cuando su poder imperial comenzó a menguar, también lo hizo su vigor intelectual. Para el 330 a. C., los griegos habían avanzado su alcance imperial en la antigua Mesopotamia. Esto es Palmira en el centro de Siria, una vez que una gran ciudad construida por los griegos. La experiencia matemática necesaria para construir estructuras con tal perfección geométrica es impresionante. Al igual que los babilonios antes que ellos, los griegos eran unos apasionados de las matemáticas.
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Los griegos eran colonos inteligentes. Tomaron lo mejor de las civilizaciones que invadieron para promover su propio poder e influencia, pero pronto ellos mismos hicieron contribuciones. En mi opinión, su mayor innovación tuvo que ver con un cambio de mentalidad. Lo que iniciaron influiría en la humanidad durante siglos. Nos dieron el poder de la prueba. De alguna manera decidieron que tenían que tener un sistema deductivo para sus matemáticas y el sistema deductivo típico era comenzar con ciertos axiomas, que asume que son verdaderos. Es como si asumiera que cierto teorema es cierto sin probarlo. Y luego, usando métodos lógicos y pasos muy cuidadosos, a partir de estos axiomas se prueban teoremas ya partir de esos teoremas se prueban más teoremas, y simplemente se acumulan bolas de nieve. La prueba es lo que da fuerza a las matemáticas. Es el poder o la prueba lo que significa que los descubrimientos de los griegos son tan ciertos hoy como lo eran hace 2.000 años.
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Necesitaba dirigirme hacia el oeste hasta el corazón del antiguo imperio griego para aprender más. Para mí, las matemáticas griegas siempre han sido heroicas y románticas. Estoy de camino a Samos, a menos de una milla de la costa turca. Este lugar se ha convertido en sinónimo del nacimiento de las matemáticas griegas, y se debe a la leyenda de un hombre. Su nombre es Pitágoras. Las leyendas que rodean su vida y obra han contribuido al estatus de celebridad que ha ganado en los últimos 2000 años. Se le atribuye, con razón o sin ella, el inicio de la transformación de las matemáticas como herramienta de contabilidad al tema analítico que reconocemos hoy. Pitágoras es una figura controvertida. Debido a que no dejó escritos matemáticos, muchos se han preguntado si realmente resolvió alguno de los teoremas que se le atribuyen. Fundó una escuela en Samos en el siglo VI a. C., pero sus enseñanzas fueron consideradas sospechosas y los pitagóricos una secta extraña.
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Hay buena evidencia de que hubo escuelas de pitagóricos, y es posible que se parecieran más a sectas que a lo que asociamos con las escuelas filosóficas, porque no solo compartían conocimientos, también compartían una forma de vida. Pudo haber habido una vida comunitaria y todos parecían haber estado involucrados en la política de sus ciudades. Una característica que los hace inusuales en el mundo antiguo es que incluían mujeres. Pero Pitágoras es sinónimo de comprender algo que los egipcios y babilonios eludían: las propiedades de los triángulos rectángulos. Lo que se conoce como teorema de Pitágoras establece que si tomas cualquier triángulo rectángulo, construyes cuadrados en todos los lados, entonces el área del cuadrado más grande es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados más pequeños. It's at this point for me that mathematics is born and a gulf opens up between the other sciences, and the proof is as simple as it is devastating in its implications.
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Place four copies of the right-angled triangle on top of this surface. The square that you now see has sides equal to the hypotenuse of the triangle. By sliding these triangles around, we see how we can break the area of the large square up into the sum of two smaller squares, whose sides are given by the two short sides of the triangle. In other words, the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the other sides. Pythagoras' theorem. It illustrates one of the characteristic themes of Greek mathematics - the appeal to beautiful arguments in geometry rather than a reliance on number. Pythagoras may have fallen out of favour and many of the discoveries accredited to him have been contested recently, but there's one mathematical theory that I'm loath to take away from him. It's to do with music and the discoveryof the harmonic series. The story goes that, walking past a blacksmith's one day, Pythagoras heard anvils being struck,
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and noticed how the notes being produced sounded in perfect harmony. He believed that there must be some rational explanation to make sense of why the notes sounded so appealing. The answer was mathematics. Experimenting with a stringed instrument, Pythagoras discovered that the intervals between harmonious musical notes were always represented as whole-number ratios. And here's how he might have constructed his theory. First, play a note on the open string. MAN PLAYS NOTE Next, take half the length. The note almost sounds the same as the first note. In fact it's an octave higher, but the relationship is so strong, we give these notes the same name. Now take a third the length. We get another note which sounds harmonious next to the first two, but take a length of string which is not in a whole-number ratio and all we get is dissonance. According to legend, Pythagoras was so excited by this discovery that he concluded the whole universe was built from numbers.
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But he and his followers were in for a rather unsettling challenge to their world view and it came about as a result of the theorem which bears Pythagoras' name. Legend has it, one of his followers, a mathematician called Hippasus, set out to find the length of the diagonal for a right-angled triangle with two sides measuring one unit. Pythagoras' theorem implied that the length of the diagonal was a number whose square was two. The Pythagoreans assumed that the answer would be a fraction, but when Hippasus tried to express it in this way, no matter how he tried, he couldn't capture it. Eventually he realised his mistake. It was the assumption that the value was a fraction at all which was wrong. The value of the square root of two was the number that the Babylonians etched into the Yale tablet. However, they didn't recognise the special character of this number. But Hippasus did. It was an irrational number.
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The discovery of this new number, and others like it, is akin to an explorer discovering a new continent, or a naturalist finding a new species. But these irrational numbers didn't fit the Pythagorean world view. Later Greek commentators tell the story of how Pythagoras swore his sect to secrecy, but Hippasus let slip the discovery and was promptly drowned for his attempts to broadcast their research. But these mathematical discoveries could not be easily suppressed. Schools of philosophy and science started to flourish all over Greece, building on these foundations. The most famous of these was the Academy. Plato founded this school in Athens in 387 BC. Although we think of him today as a philosopher, he was one of mathematics' most important patrons. Plato was enraptured by the Pythagorean world view and considered mathematics the bedrock of knowledge. Some people would say that Plato is the most influential figure
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for our perception of Greek mathematics. He argued that mathematics is an important form of knowledge and does have a connection with reality. So by knowing mathematics, we know more about reality. In his dialogue Timaeus, Plato proposes the thesis that geometry is the key to unlocking the secrets of the universe, a view still held by scientists today. Indeed, the importance Plato attached to geometry is encapsulated in the sign that was mounted above the Academy, "Let no-one ignorant of geometry enter here." Plato proposed that the universe could be crystallised into five regular symmetrical shapes. These shapes, which we now call the Platonic solids, were composed of regular polygons, assembled to create three-dimensional symmetrical objects. The tetrahedron represented fire. The icosahedron, made from 20 triangles, represented water. The stable cube was Earth.
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The eight-faced octahedron was air. And the fifth Platonic solid, the dodecahedron, made out of 12 pentagons, was reserved for the shape that captured Plato's view of the universe. Plato's theory would have a seismic influence and continued to inspire mathematicians and astronomers for over 1,500 years. In addition to the breakthroughs made in the Academy, mathematical triumphs were also emerging from the edge of the Greek empire, and owed as much to the mathematical heritage of the Egyptians as the Greeks. Alexandria became a hub of academic excellence under the rule of the Ptolemies in the 3rd century BC, and its famous library soon gained a reputation to rival Plato's academy. The kings of Alexandria were prepared to invest in the arts and culture, in technology, mathematics, grammar, because patronage for cultural pursuits
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was one way of showing that you were a more prestigious ruler, and had a better entitlement to greatness. The old library and its precious contents were destroyed when the Muslims conquered Egypt in the 7th Century. But its spirit is alive in a new building. Today, the library remains a place of discovery and scholarship. Mathematicians and philosophers flocked to Alexandria, driven by their thirst for knowledge and the pursuit of excellence. The patrons of the library were the first professional scientists, individuals who were paid for their devotion to research. But of all those early pioneers, my hero is the enigmatic Greek mathematician Euclid. We know very little about Euclid's life, but his greatest achievements were as a chronicler of mathematics. Around 300 BC, he wrote the most important text book of all time - The Elements. In The Elements, we find the culmination of the mathematical revolution
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which had taken place in Greece. It's built on a series of mathematical assumptions, called axioms. For example, a line can be drawn between any two points. From these axioms, logical deductions are made and mathematical theorems established. The Elements contains formulas for calculating the volumes of cones and cylinders, proofs about geometric series, perfect numbers and primes. The climax of The Elements is a proof that there are only five Platonic solids. For me, this last theorem captures the power of mathematics. It's one thing to build five symmetrical solids, quite another to come up with a watertight, logical argument for why there can't be a sixth. The Elements unfolds like a wonderful, logical mystery novel. But this is a story which transcends time. Scientific theories get knocked down, from one generation to the next, but the theorems in The Elements are as true today as they were 2,000 years ago.
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When you stop and think about it, it's really amazing. It's the same theorems that we teach. We may teach them in a slightly different way, we may organise them differently, but it's Euclidean geometry that is still valid, and even in higher mathematics, when you go to higher dimensional spaces, you're still using Euclidean geometry. Alexandria must have been an inspiring place for the ancient scholars, and Euclid's fame would have attracted even more eager, young intellectuals to the Egyptian port. One mathematician who particularly enjoyed the intellectual environment in Alexandria was Archimedes. He would become a mathematical visionary. The best Greek mathematicians, they were always pushing the limits, pushing the envelope. So, Archimedes... did what he could with polygons, with solids. He then moved on to centres of gravity. He then moved on to the spiral.
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This instinct to try and mathematise everything is something that I see as a legacy. One of Archimedes' specialities was weapons of mass destruction. They were used against the Romans when they invaded his home of Syracuse in 212 BC. He also designed mirrors, which harnessed the power of the sun, to set the Roman ships on fire. But to Archimedes, these endeavours were mere amusements in geometry. He had loftier ambitions. Archimedes was enraptured by pure mathematics and believed in studying mathematics for its own sake and not for the ignoble trade of engineering or the sordid quest for profit. One of his finest investigations into pure mathematics was to produce formulas to calculate the areas of regular shapes. Archimedes' method was to capture new shapes by using shapes he already understood. So, for example, to calculate the area of a circle,
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he would enclose it inside a triangle, and then by doubling the number of sides on the triangle, the enclosing shape would get closer and closer to the circle. Indeed, we sometimes call a circle a polygon with an infinite number of sides. But by estimating the area of the circle, Archimedes is, in fact, getting a value for pi, the most important number in mathematics. However, it was calculating the volumes of solid objects where Archimedes excelled. He found a way to calculate the volume of a sphere by slicing it up and approximating each slice as a cylinder. He then added up the volumes of the slices to get an approximate value for the sphere. But his act of genius was to see what happens if you make the slices thinner and thinner. In the limit, the approximation becomes an exact calculation. But it was Archimedes' commitment to mathematics that would be his undoing. Archimedes was contemplating a problem about circles traced in the sand.
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When a Roman soldier accosted him, Archimedes was so engrossed in his problem that he insisted that he be allowed to finish his theorem. But the Roman soldier was not interested in Archimedes' problem and killed him on the spot. Even in death, Archimedes' devotion to mathematics was unwavering. By the middle of the 1st Century BC, the Romans had tightened their grip on the old Greek empire. They were less smitten with the beauty of mathematics and were more concerned with its practical applications. This pragmatic attitude signalled the beginning of the end for the great library of Alexandria. But one mathematician was determined to keep the legacy of the Greeks alive. Hypatia was exceptional, a female mathematician, and a pagan in the piously Christian Roman empire. Hypatia was very prestigious and very influential in her time. She was a teacher with a lot of students, a lot of followers.
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She was politically influential in Alexandria. So it's this combination of... high knowledge and high prestige that may have made her a figure of hatred for... the Christian mob. One morning during Lent, Hypatia was dragged off her chariot by a zealous Christian mob and taken to a church. There, she was tortured and brutally murdered. The dramatic circumstances of her life and death fascinated later generations. Sadly, her cult status eclipsed her mathematical achievements. She was, in fact, a brilliant teacher and theorist, and her death dealt a final blow to the Greek mathematical heritage of Alexandria. My travels have taken me on a fascinating journey to uncover the passion and innovation of the world's earliest mathematicians. It's the breakthroughs made by those early pioneers of Egypt, Babylon and Greece
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that are the foundations on which my subject is built today. But this is just the beginning of my mathematical odyssey. The next leg of my journey lies east, in the depths of Asia, where mathematicians scaled even greater heights in pursuit of knowledge. With this new era came a new language of algebra and numbers, better suited to telling the next chapter in the story of maths. You can learn more about the story of maths with the Open University at...

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