Clase 19 S1 Aplicación Derivadas 1 - Razón de Cambio y Criterios de 1era y 2da Derivada

Clase 19 S1 Aplicación Derivadas 1 - Razón de Cambio y Criterios de 1era y 2da Derivada

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pero no en la sesión de hoy vamos a ver la primera de dos sesiones donde vamos a trabajar aplicaciones de derivadas en la sesión de mañana en el caso de ustedes vamos a ver qué conceptos vienen interesantes de aplicación de optimización pero en la de hoy día vamos a ingresar todo eso antes de comenzar les comento también qué podemos revisar un poco los temas de los archivos que
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que están disponibles en canvas y también les recuerdo que tienen que pensar a trabajar en su taller grupal taller parcial 3 digamos que eso ya está disponible en canvas para que lo realicen ya todo eso lo vamos a tratar de ver hoy día y mañana ya cerramos todo eso en la clase híbrida que tenemos vale ahora nosotros hemos trabajado en la segunda
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unidad del concepto de derivadas ya principalmente vimos qué son hay bastantes ideas de cómo se podía trabajar este tema desde el punto de vista de los límites y cómo uno podía reconocer que desde el punto de vista de la función sin embargo la parte importante de derivadas era cómo
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se calcula y cuando llegamos al punto de cómo se calculan las derivadas vimos la semana pasada dos opciones la primera opción era por decirlo de alguna manera coloquial a mano usando formulario cierto más o menos a mano de vamos pensando recordando la fórmula etcétera y la otra opción es usando software vale decir software
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recursos o páginas online aquí lo estuvimos conversando la semana pasada vimos también el tema derivadas de orden superior derivadas implícitas etcétera etcétera etcétera sin embargo a dónde vamos con todo vamos a aplicaciones ya nuestro foco está en usar derivadas para aplicaciones y cuando hablamos de aplicaciones de derivadas tenemos un par de ejemplos por ahí dando vuelta y
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principalmente yo les voy a hablar de dos con pinta de tres hoy de por un lado vamos a hablar del concepto de razón de cambio por otro lado vamos a hablar de la relación que existe entre la distancia la velocidad y la aceleración un tema más físico que me imagino que más de uno de lo visto y finalmente donde vamos a poner el foco es el
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optimización cuando hablamos de optimización hablamos de lo que el cálculo se conoce como los criterios de primera y de segunda derivada y es aquí donde vamos a poner un poco más el foco así que con respecto a eso es lo que vamos a trabajar el día de hoy con buster pregunta a alguien más se le ve así no sé qué es quiere preguntar con eso i hoy entonces como les decía yo vamos a
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partir con la primera aplicación de derivadas que es razón de cante entonces vamos a ver como cómo se manifiesta o cómo podemos interpretar ahora la derivada como lo que matemática se denomina una razón de cambio entonces partimos con a razón de ganar ahora la razón de cambio lo primero que nos exige es una lectura de la notación
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diferencial de la derivada vale decir si tenemos una función f y ahora anotamos df a de x esto no simplemente significa la derivada de f con respecto a x sino que ahora lo vamos a leer como la variación df cuándo varía dicho de otra manera
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si el x se mueve de 1 a 2 qué pasa con el efecto si el x se mueve de 1 a 3 qué pasa con el f entonces ahora es una variación una razón de cambio una tasa una división ya yo esto lo vamos a ejemplificar de dos maneras por ejemplo y tenemos vamos a colocar menos 3 x + 2 ahí hay una función ya y esta función voy a establecer una tabla de valores
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- 2 - 10 12 y el x entonces va a ir en ese en ese en esa magnitud es decir voy aumentando de uno en uno si evaluamos el -2 cuántos se obtienen 8 8 en 2008 sicólogos el menos uno 5 5 y evaluamos el 0
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todos si evaluamos el 1 1 y si evaluamos el 2 y aquí podemos obviamente continuar en equis y podrían continuar en fx entonces aquí podemos decir se observa a medida que x aumenta de 101 que le vas a fx aumente 3 aumenta o sea disminuye 3
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saliendo disminuye de tres en tres o sea la variación de la función es disminuir menos 3 cuando el x aumenta de 1 y miren lo que pasa cuál es la derivada de eso -3 una nota entonces justamente la derivada nosotros la podemos interpretar como una razón de cambio como lo que sucede en una función
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a medida de que ésta va evolucionando cuando digo evolucionando no digo simplemente aumentar o disminuir sino que cambia cuando el x va cambiando de uno en uno la variación de la función termina siendo una disminución de tres en tres ya obviamente esta función es muy simple pero lo que estoy tratando de ejemplificar es simplemente que la derivada se puede visualizar de otra manera vamos con un ejemplo ahora un
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poco más aplicado miren acá voy a colocar eso es un piso un horizontal aquí voy a colocar un muro ya he apoyado a este muro voy a colocar una escalera no sé voy a colocar aquí señora y luego al dibujo así que no me pidan que al gasto en perspectiva o simplemente una escalera y esta escalera toda esta situación
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tiene los siguientes datos primero tenemos una distancia o una altura h donde la escalera llega a esta altura va a variar o va a cambiar de acuerdo con qué con la distancia de la base del muro a la que está la escalera y esto le vamos a llamar s y algo que es fijo es él
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el largo de la escalera ya esté escalera le vamos a dar una medida fija de 2.5 metros ahora bien la pregunta que uno podría hacerse en esta situación es cómo varía en la altura que yo estoy alcanzando con la escalera si yo vario este ese dicho de otra manera si yo esta distancia desde la base del muro a la base de la escalera
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la hago más pequeña en la escalera va a alcanzar un mayor altura o de otra manera si esta distancia lago más grande la escalera va a alcanzar menor altura entiendo lo que estoy tratando de mostrar siempre haces gracias ahora por pitágoras problemas que no entendí muy bien pero que parte ignacio de todo el general quería que terminara la idea de que por qué porque necesito
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que pensé lo siguiente verán si tú tienes un muro aquí y tú colocas una escalera la escalera si se abre acá más baja si yo acerco esta parte acá la escalera llega más alto tienes que imaginarte tu moviendo la escalera y ahora voy a tratar de hacerlos más miramos a este muro y la escaleras y yo acercó esto para acá esto sube si yo lo agrandó esto baja
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entonces aquí viene una parte bien interesante porque aquí controla esto ignacio aprovecha que contestar que controlas controlas el altura donde llega la escalera o controlar la distancia de la escalera a la base que estás controlando exacto y eso es súper importante porque ahora vamos a establecer variables mírate por pitágoras yo sé que aquí ustedes tienen un triángulo equilátero h s y 25 por lo tanto se tiene la relación
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h + s es igual a 25 al cuadrado sin embargo yo para poder trabajar con este contenido en cálculo necesito una función entonces voy a decir que el altura por eso te dice la pregunta delicia ración depende de la distancia a la base porque yo controlo la distancia a la
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base no controla la altura entonces dicho eso yo puedo decir que h cuadrado es igual a 25 al cuadrado menos ese cuadrado y de aquí puedo generar que h es una función de ese que es la raíz de 25 al cuadrado menos ese cuadrado y genere una función para la altura
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entonces hs igual a 25 grados menos ese cuadrado es una función que indica a qué altura indica en la altura a la que llega la escalera dependiendo de s qué pasa si ese es uno cuánto es hd uno alguien me puede dar ese valor a través del 5.25 y cuánto es eso 25
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bueno el resultado de 7.95 no está sumando hay que restar como 29 se habla exactamente entonces qué significa significa que si usted tiene en su muro y la escalera está apoyada a un metro cab en la altura a la que está llegando es 2.29 metros si esto es un metro entiendo
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hasta ahí alguien tiene duda la asignación pero fe diga que el s es igual a 1 porque yo dije ay porque yo dije qué pasa si coloco mi escalera a un metro y te puedo preguntar qué pasa sangre altura llega si estuvieses a medio metro por ejemplo pero yo solo lo elegí porque porque depende de ese ensayo yo le doy ese valor entonces voy a colocar así voy a
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aprovechar tu pregunta si elijo poner la escalera a un metro de la base está llegará a 229 metros de altura la clave la clave de estas de las frases si elijo porque lo estoy eligiendo ya sea ahora cómo o cuánto varía
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la altura y la altura d la escalera cuándo s varias esa es la pregunta que ustedes entonces para responder esta pregunta cómo va variando la altura lo que vamos a calcular es la derivada de s v h cuál es la derivada de h
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alguien me puede dar esa deriva habría que partir elevando todo un medio continué además en cosas la regla la cadena porque viene mal porque super esta es la función raíz y dentro de la función raíz está la función 25 cuadrados menos ese cuadrado por lo tanto primero hay que derivar esa y luego que derivar es la deriva de la raíz 4a en medio de esta sería la hélice de d
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y eso diría cinco cuadros y esto porque es un medio bueno y después va x la deriva esto por la cadena es la raíz se deriva por la derivada dentro y por lo tanto esto queda así 1 / 2 por la raíz de 25 al cuadrado menos este cuadrado por la derivada de lo tanto que es menos 2
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ese alguien no entiende eso y entonces tenemos quién variación de h cuándo no haría ese está dada por esta función y esta función está derivada yo la puedo simplificar ese 2 con ese 2 y voy a obtener entonces que es de h desde la variación de h cuando varía s
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como menos s / entonces les voy a montar en el fotito y vamos a colocar e y vamos a completar acá entonces ahora como para ocupar de nuevo la pizarra la función y entrega en la altura cuando cambia ese es [Música] y entonces la función que entrega en la altura que alcanza la escalera era h de
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ese 25 al cuadrado menos ese cuadrado y todo eso en raíz donde si calculamos h de uno nos daba 2,29 pero y la derivada de eso es la función y entrega variación de la altura cuándo cambian s es decir y en esta que está aquí en la derivada cuánto cuál es el valor si ese vale 1
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y alguien lo puede calcular esto era para que lo recuerden esto es está igual a uno porque lo elegimos nosotros y esto cuánto será si ese vale uno a alguien sería menos 2.18 menos 2.18 a mí no me da eso de medios 0.40 y clay es así él realiza tu cálculo héctor porque aquí es menos uno y acá sería éste uno cuadrado raíz de eso
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ahora libro pensé que era menos 5 así ese por eso le hablo cachito la s entonces esto sería menos 143 ya qué significa este 043 negativo qué lectura va descendiendo ya mejor tiene que mejorar un poquito cuando cuando la [Música] escalera se va alejando va creciendo cuanto se va alejando y cuánto va decreciendo la cita pero te falta contar las dos
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cosas la variación es un metro o sea por cada metro que la escalera se aleja y la altura disminuye en 0 43 metros tenía que juntar las dos cosas aquí 7 por cada metro un metro que la escalera aleja de la base del muro [Música]
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en la altura que alcanza disminuye 0 43 metros o bien 43 centímetros como que entonces lo que está entregando esto es que ya tenía el muro tenía la escalera si yo me alejo un muro esto baja 43 centímetros esa es la interpretación de la de la situación ese es el ritmo de cambio o la variación de cambio que estamos realizando y esto
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de esta situación digamos un hola la puede llevar a varios a varios ámbitos por ejemplo si uno tiene un tanque con agua y abre una llave ahí también hay una variación del volumen con respecto al flujo que está saliendo y así hay varias situaciones que pueden trabajarse con razón de cambio dudas profe una consulta derivada de h ahí dice menos 5 menos s - s ya meses
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algún traidor ya vamos ahora contigo entonces este mismo principio que estábamos trabajando de razón de cambio se aplica en lo que ustedes conocen como la distancia velocidad y aceleración ya esto no lo voy a trabajar ni lo voy a ejemplificar mucho más sino que principalmente quiero que damos la idea cuando nosotros tenemos la desde un punto a
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a un punto b es cierto hay una distancia y esto se relaciona con velocidad y tiempo con una forma de cierto qué distancia es igual a velocidad por tiempo y de aquí aparecen relaciones por ejemplo si yo quiero saber la velocidad esto es distancia / tiempo y si quiero saber el tiempo es igual a velocidad de vídeo distancia cual nos interesa
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bien está que la velocidad es justamente la variación de la distancia con respecto al tiempo entonces voy a cambiarle el de distancia a una s porque el diferencial se ocupa de [Música] la s que antes era de dos y aquí será lo siguiente hay una función que entrega
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a distancia en base a tiempo vale decir una función sdt donde ese es distancia y te ocupes tiempo ya la variación de la distancia con respecto al tiempo vale decir la derivada es igual a la función de velocidad entonces ve es velocidad y tres
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a tiempo y calculamos la variación de la velocidad con respecto al tiempo y eso es la aceleración a aceleración tengo tiempo y obviamente aquí simplemente es una deriva entonces entonces por ejemplo si yo digo e hay una función voy a hacer un ejemplo
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pequeño je [Música] un ejemplo pequeño por ejemplo qué la distancia está dada por tres de uno entonces en el tiempo 1 entonces en el tiempo 1 es decir s de 1 va a ser igual a 4 eso quiere decir que cuando ha pasado un segundo un minuto o un día ha recorrido cuatro metros o
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cuatro kilómetros si derivamos esto vamos a obtener la velocidad si derivamos esto vamos a obtener la derivada de ese que es 3 que en realidad es la velocidad se fijan y la velocidad en que igual 1 va a ser 3 entonces significa que si estamos hablando de ejemplos de días en un día se recorrió 4 km y era un día anduvo a una velocidad medio de 3
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kilómetros por hora por ejemplo y si volvemos a derivar pronto si derivamos ahora la velocidad y se va a obtener y la derivada de la velocidad eso es cero y eso significa que la aceleración es cero y quién te igual uno por ejemplo en un día la aceleración va a ser cero lo que estoy tratando de mostrarle es que si uno derivada de la fórmula de distancia
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tiene la velocidad y yo no diría la fórmula velocidad obtiene la aceleración para que le dé una vueltita más porque obviamente hay harto paño de cortar pero se los dejo ahí como como interrogante dudas hasta ahí a [Música] tarde entonces con lo que nos convoca que es que a la parte más importante de este tema que es la optimización y aquí es
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donde vamos a poner el foco porque es principalmente de lo que se va a tratar su su taller parcial 3 grupal que vamos a desarrollar ya en octubre próximo entonces optimización con derivadas y para trabajar este tema optimización con derivada lo primero que tenemos que tener claro es que es optimizar ya y optimizar es desarrollar una tarea
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utilizando algo en menor cantidad o lo mismo utilizar la misma la misma cantidad pero obtener un mejor resultado por ejemplo si yo estoy yendo en punto a punto e ocupando una cierta cantidad de recursos de la cierta cantidad de tiempo siguió ocupando los mismos recursos pero menos tiempo llegué desde hasta ve optimice de alguna manera si ocupó el menos tiempo pronto se ocupó menos
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tiempo pero menos cantidad de recursos también estoy optimizando y si voy desde hasta vez con menos recursos y el menú tiempo estoy desarrollando aún mejor la optimización eso quiere decir que cuando nosotros desarrollamos un proceso de optimización hay varias aristas de optimización y por eso es súper importante que nosotros seamos capaces de identificar o de explicar qué es lo que yo estoy optimizando y yo
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respondo la situación fue optimizada no es correcto porque yo tengo que indicar cuál de los parámetros las variables involucradas en la situación es la que yo logre optimizar donde logre ahorrar recursos donde logre mejorar los tiempos donde logré y mejorar la productividad etcétera etcétera extra por lo tanto si nosotros hablamos de variables nosotros automáticamente hablamos de funciones y ese es el primer paso de la optimización con derivadas es
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trabajar u obtener la función a optimizar si yo no tengo la función que voy a optimizar todo estaba perdido porque yo necesito algo que optimizar y esa función para cálculo uno debe depender de una sola variable si depende de más variables yo tengo que buscar la manera de hacerla depender sólo de una variable entonces para trabajar con optimización con derivadas vamos a trabajar con lo que se conoce como el criterio de la
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primera derivada y el criterio de la segunda área entonces una vez que yo tengo esas dos derivadas puedo hacer una serie de pasos y así voy a lograr obtener la optimización de la función entonces para ello vamos a hacer un recuerdo de algo si yo coloco aquí la función va a colocar y este menos de cuadrado h de teherán y el tipo de funciones está cuadrática y si yo digo que h esa altura
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y que te des tiempo que me pueden decir de esa función y puede ser la misma que quiera cómo es el mismo ejemplo que la escalera no para nada en el tiempo que la altura ha variado el tiempo super bien y de qué manera es esta gráfica como la variación y una parábola jorgen es eso qué saben ustedes de ese cero y ese 10
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que es que es ese 0 y ese 10 el tiempo mínimo y el máximo el inicio del tener a ese es el tiempo inicial y el tiempo final y qué pasa en ese tiempo inicial y ese tiempo final que la altura es cero porque aquí está en el suelo y aquí cae desde el aire pero pero pero pero pero pero aquí viene la parte importante qué pasa con este puntito que está aquí qué era eso la altura máxima
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cero la altura máxima y como se calculaba eso o cómo se llama eso una vez de acuerdo como se calculaba eso as era algo de calcular el vértice ya cómo se calcula el vértice creo que era menos partido en doha buena el discriminante si no me llegó parecidos al revés 4 hace menos cuadrados dividido con trabajo súper gracias ya no
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ya pero cuál es el problema que esto sólo sirve para para funciones cuadráticas dicho de otra manera si yo tengo una altura máxima o mínima por lo demás este este proceso del vértice con ese asv y es ese sólo nos servía para funciones cuadráticas entonces la pregunta es ya pero cómo se puede calcular máximo o mínimo
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sí sí la función es d otra una dura ley y ya se entiende la idea y básicamente lo que tenemos es una manera de calcular de calcular un máximo un mínimo cierto en cuadrática pero si tenemos funciones de otra naturaleza cómo lo vamos a hacer entonces aquí se usa lo que se denomina
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el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda deriva con el criterio de la primera derivada y si tengo una función y aplicamos derivada y aplicamos el criterio de la primera derivada vamos a conocer si es que hay postulantes al máximo
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más conocido también como puntos críticos y si es que los hay con el criterio de la segunda derivada se sabe si los postulantes máximos mínimos o simplemente son puntos que aparecieron porque el cálculo lo indica así ya entonces lo que vamos a hacer es conocer el criterio de la primera derivada el de la segunda derivada y aplicarle el primero para saber si hay que postular
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antes a máximo mínimo o también denominados puntos críticos y el segundo para saber si esos puntos críticos son o no máximos o mínimos ya fotito y continuamos sí sí sí ya borroka entonces dada una función cualquiera dada una función cualquiera derivable ay los valores
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extremos donde existe valores extremos x igual si se le vamos a llamar a esos valores que cualquiera exista donde existan máximos o mínimos se sabe game 2 el criterio de la primera derivada dice se calcula la primera derivada igualada
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a 0 y se resuelve la ecuación así los valores obtenidos a son [Música] los postulantes para que tenemos es el criterio de la primera derivada lo que hace es calcular la primera derivada igualar la cero y resolver esa ecuación y de esa
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ecuación vamos a obtener 123 valores se sub y cualquiera y esos son los postulantes para extremos de y el criterio de la segunda derivada dice lo siguiente se evalúan los x igual acceso y todos los sexos y obtenidos y dependiendo del resultado se obtiene y tenemos tres posibilidades la primera posibilidad es que al evaluar el sexo y
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en la segunda derivada por eso se llama criterio de la segunda área porque hay que evaluar en la segunda arriba si es el resultado es mayor a cero en exceso y ay mi 2 si evaluamos en la segunda derivada el valor y se obtiene menor a 0 el sexo hay un máximo y si evaluamos en la segunda derivada y
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da igual a 0 en exceso y no hay máximo y ya y finalmente si somos capaces de identificar que hay un máximo y un mínimo en eso y para conocer ese máximo ese mínimo y para conocer el máximo o mínimo se debe y evaluar cada suceso
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en la función y original demandó la fotito terminen de notar y lo revisamos y revisamos el ejemplo de su cartera consulte dónde dice segunda derivada se evalúan x es igual c se está acá cesur y lo que va a hacer que cuando uno habla de su y sexo y habla de que puede ser más de uno puede ser un segundo un
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c2 c3 [Música] a buscar agua y polvo y copiaron ya por ej ah por ejemplo aquí voy a trabajar con el mismo ejemplo de la sección anterior que es buen ejemplo esta es una función sin contexto y esto lo recalco porque eventualmente lo importante es trabajar con funciones con contextos así que vamos a optimizar o denis
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/ de x igual x 1 1 2 x q 2 x q menos 15 x 4 36 x super estamos con la función cuál es el primer paso calcular la primera derivada muy bien cuál es la primera derivada seguí aquí nos seguí al cuadrado menos 30 x - 36 que hacemos corazón
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igual a 0 muy bien y luego que hacemos corazón se resuelve la ecuación muy bien como lo resuelven me da lo mismo van a obtener valores en este caso son 2 cuáles serían esos colores pero este efecto bien segundo 61 61 muy bien quiénes son esos valores 6 - 1 entonces los postulantes
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máximo mínimo o a mostrar valores donde hay extremos los que digamos sería x 1 y 6 y x2 igual si aquí aparece sólo uno hay un solo postulante si aparecen diez hay diez postulantes 3 calculamos la segunda derivada de la segunda 12 x que hacemos ahora evaluar en esta segunda derivada el 6 y
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evaluar en esta segunda derivada al menos 1 cuanto da 6 y menos uno evaluado 72 - 30 el de arriba 42 y el de abajo así 41 y 42 ojo que ayudado 42 menos 42 números opuestos es coincidencia no no siempre va así pero no nos interesa lo que dar
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sino que nos interesa el signo esto es positivo y esto es negativo qué significa eso en x igual 6 hay un mínimo para la función y en x igual menos 1 hay un máximo de la función y finalmente si quiero conocer este máximo y mínimo evaluamos 5
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efe de 6 y f de menos 1 cuando es eso pero a fe pero el 6 y el 1 en qué función se reemplaza en la primera la función original por eso y cf te fijas que no hice derivados dice él la función de ayudar y hacer o en dónde en la función de 6 ah - 324 no se distraen y en menos uno y por lo tanto en 6 se obtiene un mínimo
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y ese mínimo es menos 324 en menos 1 hay un máximo y ese máximo es 19 ojo cuando uno habla de esto siempre habla de máximos y mínimos locales o relativos y a veces de absolutos ya pero eso tiene que ver ya con con criterios más amplios que nosotros tienen que revisar la función si él desde el 19 no hay otro valor más arriba se puede hablar de absoluto 73 24 no hay uno más abajo podemos hablando absoluto pero siempre siempre hay que tener cuidado con eso es relativo y absoluto ya les mando la
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fotito y les muestro la gráfica de esto en dos segundos ah y yo tengo la gráfica de esta función acá de vez en cuando están viendo esta es la función ustedes ven después del 10 de esta cosa se va para arriba significa que hay valores más arriba del 19 y el 19 está justamente aquí miren menos 1 como 19 dice extremo y nos vamos para abajo podemos ver que la función llega
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justamente al otro valor que es 6 menos 3 24 también es un extremo cierto pero esta cosa sigue hacia abajo por lo tanto también podemos hablar de un mínimo relativo para la función ahora cuando tenemos funciones que son más difíciles de graficar obviamente que se ve mejor y más fácil esta idea pero esta como la función entera si ustedes eso alguna consulta chicos nadie de la foto ante la moto y ya para finalizar entonces les comento
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un par de cositas primero que en su plataforma canvas yo ya y los siguientes se los voy a mostrar en su plataforma canvas en evaluaciones yo ya agregué lo que es el taller parcial 3 la exposición es de optimización ustedes ingresan van a tener van a tener la visualización de dos
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archivos uno que dice tarea uno que es un pdf y otro dice pauta de evaluación de las exposiciones ya el que tiene la tarea uno viene con todas las indicaciones y la pauta obviamente es un excel donde yo voy a evaluar mañana en la clase híbrida vamos a entrar y hablar con más detalle de este tema ya pero ya les pido que ustedes vayan a hacer revisión de ese archivo ya en ese archivo se indican un par de cositas por
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ejemplo por ejemplo este es el archivo que está caso mañana lo vamos a revisar en detalle pero por ejemplo que tienen hasta el día jueves 30 para que me informen a través de correo los grupos con los cuales van a trabajar ya los grupos tienen que ser de tres integrantes y me tienen que enviar por correo los grupos para yo poder inscribir ya estar si no lo vamos a realizar con más detalle mañana
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con respecto a las guías ya tienen ya pueden trabajar todas las guías la guía 3 4 y 5 y lo que vamos a hacer mañana tiene que ver con los siguientes por ejemplo este problema que estoy marcando les aquí tiene la siguiente característica les piden optimizarlo entregándoles la función pero hay otros problemas como por ejemplo este donde les piden optimizar y
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ustedes tienen que construir la función más o menos lo que yo hice cuando hicimos el tema de la escalera donde yo construir la función bueno eso es lo que vamos a realizar mañana y la guía 5.1 que es esta que está aquí ustedes pueden ver que aquí tienen muchos problemas son como 15 16 problemas donde hay que construir la función en todos así que con eso con la clase de mañana ya más o menos vamos a estar listos para que ustedes se dispongan a trabajar en
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lo que les toca para preparar sus exposiciones alguna consulta chicos pero efe cuando comienzan las exposiciones en el archivo está pero son la semana del 18 el día martes 19 parece mucho coloque fecha de inicio ya el mañana vamos a conversar con más detalle porque antes de la exposición tienen que tener al menos una entrega para realizar los invito a que ustedes realicen el
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archivo y mañana conversamos con más detalle mañana clase presencial a alguien más se pueden mezclar con la otra sección también para hacer grupo por si acaso esto nada más en ellos corto la de la opción

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