Crecimiento exponencial | Ecología | Biología | Khan Academy en Español

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en este vídeo vamos a hablar sobre el crecimiento exponencial que es lo que genera una explosión poblacional la mayoría de los estudiantes comprenden el crecimiento exponencial pero a veces las matemáticas pueden ser algo difíciles así que vamos a analizar esto paso a paso comencemos con este conejo de aquí y digamos que forma parte de una población no tendremos solamente un conejo sino cierto número de conejos en nuestra población y en todas las ecuaciones nos referiremos a esto como n
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que es el tamaño de la población esto va a cambiar conforme pase el tiempo pero esta será nuestra población inicial que llamamos n vamos a organizar a los conejos para poder contarlos nuestra n inicial será de 10 conejos en el tiempo 0 ahora nuestra población puede aumentar disminuir o permanecer igual y lo que va a determinar esto será nuestra tasa de crecimiento este es la segunda letra que deben recordar r que nos va a indicar que tanto cambia la población con el
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tiempo y hay solamente dos cosas que afectan a la cantidad de población nuevos conejos que serán los nacimientos y los conejos que fallecen lo que serán las muertes así que ambas cosas van a contribuir al cambio en la población pero es algo per cápita lo que significa que tenemos que dividir esto entre n que es el tamaño original de la población permítanme agregar unos conejos bebés unos 5 conejos bebés de manera que tenemos 5 nacimientos y digamos que se
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murieron dos conejos no se preocupen son solamente conejos virtuales así que tenemos dos muertes tuvimos 5 nacimientos y 2 muertes y nuestra n es la población original de 10 por lo que el valor de nuestra r va a ser 5 menos 2 entre 10 que es 3 entre 10 lo que nos da punto 3 el valor de nuestra r es punto 3 por lo que nuestra tasa de crecimiento es punto 3 esto significa el factor con el que aumenta nuestra población si tomo 10 y lo multiplicó por punto 3
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voy a tener 3 que es lo que ha aumentado o crecido nuestra población algo que deben conocer sobre la tasa de crisis es que si el ecosistema es estable la tasa de crecimiento no va a cambiar con el tiempo y ustedes pueden pensar que si no cambia la tasa de crecimiento entonces la población va a aumentar siempre con la misma cantidad pero esto no es así veamos lo que sucede tomamos esta tasa de crecimiento de punto 3 para la siguiente generación y ahora en lugar
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de multiplicarla por diez vamos a multiplicar la por 13 si lo hacemos vamos a usar esta ecuación de aquí que es el cambio de n entre el cambio en t tomando nuestra tasa de crecimiento que es punto 3 y ahora la multiplicamos por 13 ya no tendremos 3 sino que tendremos 3.9 y si lo redondeamos resulta que tendremos otros cuatro conejos más lo que aumenta nuestra población a 17 conejos aun cuando nuestra erre no cambia como cada vez la multiplicamos por un número
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más grande vamos a tener una mayor cantidad de conejos para la siguiente generación ahora hagamos los cálculos para la tercera generación en donde ahora multiplicamos puntos por 17 lo que nos da 5.1 que podemos redondear a 5 conejos si ahora multiplicamos nuestra tasa de crecimiento por 22 nos dará 6.6 que redondeamos a 7 conejos y lo sumamos lo que nos da una población de 29 aquí pueden ver que la población está
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aumentando ahora les puedo hacer algunas preguntas difíciles la primera pregunta no es tan difícil y es cuál será la población en el tiempo número 5 para resolverlo tomamos este 29 y lo multiplicamos por punto 3 y el resultado lo sumamos al 29 qué tal si les preguntara cuál sería la población en el tiempo 10 o en el tiempo 30 esto ya no es tan fácil de calcular y seguramente van a necesitar algo de ayuda en mi caso cuando necesito algo de
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ayuda lo primero que hago es usar mi hoja de cálculo vamos a abrir excel y trataremos de recordar estos números vamos a reconstruir nuestra tabla del lado izquierdo tenemos cero como nuestro primer tiempo y uno será nuestro segundo tiempo puedo ahorrarme tiempo en excel seleccionando estas celdas tomando esta esquina y jalando la hacia donde quiero que se incremente mi conteo así que llevemos esto hasta el año 30 ya tenemos esto cuál era nuestra población original era de 10 lo escribimos aquí en cuál
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será la siguiente población vamos a escribir una fórmula en este recuadro escribiendo el signo de igual recuerdan que hicimos tomamos nuestra población original le damos clic aquí y a esto le vamos a sumar la tasa de crecimiento que era de punto 3 y la vamos a multiplicar por nuestra población original esto nos da 3 nuevamente lo que hicimos fue tomar lo que había en esta celda y le sumamos lo que había en esta celda multiplicada por punto 3 y con la magia de la hoja de cálculo puedo tomar esto y lo vamos a
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copiar en todas estas celdas de manera que haga lo mismo una y otra vez y así hará todos los cálculos por nosotros tenemos los valores que teníamos antes 13 17 22 todo nos suena familiar obviamente esto no está redondeado por lo que no nos dará la cantidad exacta de conejos pero ahora podemos ver esta curva exponencial que tiene forma de j y ahora si podemos responder a las preguntas en el tiempo 5 tendremos unos 37 conejos en el tiempo 10
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tendremos 138 conejos y si vamos a este tiempo 30 vamos a tener 26 mil 199 conejos lo que son muchísimos conejos en poco tiempo así pueden ver el comportamiento del crecimiento exponencial lo bonita de las hojas de cálculo es que puedo jugar con la información digamos en lugar de tener una tasa de crecimiento de punto 3 la vamos a cambiar a punto 1 copiamos esto de nuevo hasta abajo y vamos a tener otra curva en forma de j aunque ésta no estará tan
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empinada como la anterior ya que al final no tendremos tantos conejos pero aún así vamos a tener un crecimiento exponencial cambiamos de nuevo este valor y hagamos los 0 si lo hacemos obtenemos 10 aplicamos esto de nuevo en todas las celdas y veremos que no tenemos aumento alguno quedará todo el tiempo con el valor de 10 una de las preguntas difíciles que les hago a mis estudiantes es qué pasará si tenemos una tasa de crecimiento negativa por ejemplo ve - punto 3 aquí nos dará un 7 y si
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aplicamos esto en todas las celdas nos vamos a aproximar a un límite nos vamos a aproximar a 0 esto es porque al principio vamos a quitar grandes cantidades y luego aquí tenemos cantidades menores conforme la población se hace cada vez más pequeña esto podemos hacerlo con hojas de cálculo pero no siempre tenemos a la mano una hoja a veces solo necesitamos una calculadora y un poco de álgebra veamos la solución algebraica tenemos esta ecuación para el crecimiento exponencial el cambio de n
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en t va a ser igual a n que es el tamaño de la población multiplicada por uno más r donde r es la tasa de crecimiento y esto lo vamos a elevar a t donde t es el tiempo vamos a asegurarnos de que esto funciona veamos t igual a cero sustituimos nuestros números ponemos 10 en lugar de en nuestra población original aquí dejamos a 1 y r la sustituimos con punto 3 y la elevamos a la potencia 0 que es nuestro tiempo simplificamos esto y recordamos que
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cualquier cosa elevada a la potencia 0 va a ser igual a 1 lo que nos da 10 parece que está funcionando pero no se confíen sigamos con t igual a 1 sustituimos el tiempo con 1 m sigue siendo 10 esto es uno más r r no está cambiando pero ahora elevamos todo esto a la primera potencia y cualquier cosa elevada a 1 igual a la misma cosa por lo que nos queda 1.3 y al multiplicar por 10 nos da 13 hagamos lo mismo para t igual a 2
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sólo ponemos 2 aquí pues es lo único que está cambiando tenemos 1.3 a la segunda potencia osea lo elevamos al cuadrado y nos da 1.69 que lo multiplicamos por 10 y nos queda 16.9 que es casi 17 probemos ahora con el tiempo igual a 30 elevamos esto a la potencia 30 y nos da 26.199 lo que coincide con nuestra hoja de cálculo tendremos muchos conejos muy rápidamente
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esta es la solución algebraica es una forma rápida de calcular el crecimiento usando la población original el tiempo y la tasa de crecimiento ahora quiero preguntarles algo digamos que en lugar de conejos tenemos bacterias la bacteria e.coli puede reproducirse en 20 minutos es decir puede hacer una copia de sí misma en 20 minutos digamos ninguna de estas bacterias muere así que no tenemos tasa de mortalidad por lo que nos quedan los nacimientos entre en
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cuántos nacimientos tendremos si nos dividimos a la mitad tendremos un collie nuevo nuestra población original era de 1 por lo que ahora tendremos una r igual a 1 en lugar de aumentar por punto 3 ahora vamos a aumentar por 1 que es lo mismo que un aumento del 100 por ciento al principio tenemos una bacteria y después tenemos 2 bacterias que es un aumento del 100 por ciento de bacterias más que el número original ahora tenemos dos después tendremos 4 luego 8 luego 16
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32 y pueden ver como el crecimiento exponencial nos da una gran cantidad de bacterias muy rápidamente otra pregunta que les hago es el cielo es el límite después de 20 generaciones vamos a tener casi no alcanzo a leer algo así como 5 millones así que esto sigue creciendo por siempre r no va a ser igual siempre les dije una mentira conforme aumenta la población se irán quedando sin alimentos recursos y
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espacios por lo que r va a cambiar y comenzaremos a ver algo llamado crecimiento logístico lo que tiene un conjunto de ecuaciones diferentes y lo veremos en otro vídeo esto fue el crecimiento exponencial y nos vemos en el siguiente vídeo

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