Sesion 2 Teo Consumidor

Sesion 2 Teo Consumidor

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hola a todos hacia todos en esta segunda sesión vamos a comenzar a desarrollar el modelo básico de elección de un individuo como les adelanté en la sesión anterior este modelo encierra un problema de optimización en este problema el consumidor quiere elegir es una canasta de consumo si esta elección va a surgir de resolver un problema que
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involucra una función objetivo y una restricción si vamos a ver a lo largo de esta sesión y quizás de la de la otra que hay dos caminos para para resolver este problema así el primero de estos caminos implica resolver un problema de maximización que en la literatura o la teoría micro se conoce como el problema primal
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si este que implica esencialmente maximizar una una función de utilidad si este en este caso depende de esta canasta de bienes y este teniendo como restricciones este el hecho de que el gasto de un individuo no puede ser mayor a su ingreso disponible de resolver este problema de maximización lo que vamos a obtener y lo que va a poder derivar el consumidor es
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cuál es esta canasta óptima de consumo si el segundo camino de la segunda alternativa que también vamos a ver para resolver este problema optimización este problema de elección en definitiva es un problema de minimización que también en la literatura la leen un poco en el micro se conoce como el problema actual del programa dual del del primal en definitiva estamos hablando como dos caras de la moneda para resolver el mismo problema sí entonces en este caso
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es un problema vamos a poder plantear este problema como un problema de minimización donde en definitiva el consumidor lo que va a querer es minimizar su nivel su nivel de gasto si sujeto a que quiere alcanzar un determinado nivel de utilidad si de resolver este problema si éste este problema o optimización a lo que vamos a llegar es a a una canasta de consumo una canasta de consumo óptima así que va a ser una
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elección óptima del consumidor si una propia interesante desde estos dos problemas es que en definitiva bajo ciertas ciertas condiciones esté esta canasta de consumo óptima si éste va a ser va a ser exactamente la misma así entonces este para resolver este este problema y para presentarles el modelo este modelo básico de elección nos vamos a valer de algunos conceptos que ya
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vimos en la en la sesión anterior si éste que son claves en la teoría micro que en particular en la teoría de elección sí que es la tasa marginal de sustitución así que esta información que surge en este concepto que captura información este acerca de las preferencias de los consumidores y el otro concepto clave este es basar la relación de la relación de precios que captura información acerca de la
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restricción presupuestaria esté bueno vamos a valernos de estos estados de estos conceptos si éste o de estas categorías para para resolver el problema de optimización y vamos a ver qué son dos conceptos claves este en este problema si entonces éste esencialmente los pasos que vamos a seguir en estas en estas sesiones y en lo que nos va a llevar es derivar el
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modelo este modelo básico del consumidor o este modelo básico de elección es primero lo que vamos a hacer es plantear y resolver el problema del problema optimización primal sigue el problema de maximización seguidamente luego resolver estos y discutir un poquito acerca de sus principales implicancias lo que vamos a hacer es resolver plantear y resolver el problema el problema dual y como les comentaba también al principio de la sesión anterior o sea la manera de
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resolver estos problemas va a ser este primero hacerlo de manera gráfica para ganar un poco de intuición en los conceptos claves y finalmente vamos a plantear el problema de manera analítica ok entonces bueno pasando directamente al problema de elección óptima este el problema primal este problema maximización entonces un poco el día podríamos decir que el problema clave que va a tener el consumidor que
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resolver es elegir una canasta de consumo tal que haga máxima su nivel de utilidad y que efectivamente pueda comprar a los precios de mercado y dado su swing su ingreso disponible si vamos a decir que de resolver este problema lo que vamos a llegar es una elección óptima este o también ustedes van a poder probablemente encontrar alguno de los libros del curso a éste a una asignación óptima éste uno podría pensarlo de manera
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equivalente si para resolver este problema lo que vamos a hacer es hacer algunos supuestos bueno el primero y un poco me adelanta a las slides anteriores este vamos a estar hablando vamos a acotar el problema a la elección de dos con una canasta de bienes que tiene únicamente dos bienes exige si éste pero la veamos la mayor parte de los resultados van a ver que se pueden generalizar en el caso de n bienes vamos a asumir que las preferencias son bueno tónicas y sobre esto sobre esto hablamos
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la vez pasada a la sesión pasada y estas preferencias éste en definitiva este si son racionales van a poder ser representados por la función de utilidad si deseas vamos a estar hablando de consumidor vamos a tener acá un consumidor que toma decisiones que son racionales vamos a asumir que el consumidor tiene una cantidad fija de ingreso nominal sí y para y para este consumidor los precios del bien x y del bien y del bien se están dados y vamos a asumir que
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vamos por el mercado sí que son un dato y vamos a asumir que este consumidor va a gastar todo su ingreso y todo su ingreso nominal lo va a gastar esté en el consumo del bien x y en el consumo y en el consumo de audiencia entonces en definitiva para ganar un poco de intuición este acerca de cómo resolver este problema bueno es una forma de digamos de entrarle a este problema podría hacer preguntarnos por qué y cómo podemos resolver este
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problema sí o sea cuál es la canasta de consumo que hace máxima su nivel de utilidad y que efectivamente puede comprar de manera de manera gráfica y pensando un poquito en alguno de los conceptos que vimos la sesión anterior entonces bueno en definitiva este problema tiene dos cuestiones que son que son que son importantes esta idea de la utilidad del individuo y en definitiva está esta idea de que sea una canasta que efectivamente pueda comprar
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en el mercado entonces podríamos valernos de 22 de los objetos que tuvimos discutiendo la sesión anterior para resolver este problema en este primer objeto es la es la es la función de utilidad que gráficamente la podemos describir a través de una de una curva de indiferencia si un segundo objeto que nos va a ser útil este y que va a describir lo que el consumidor puede comprar o no puede comprar en definitiva va a ser la
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restricción presupuesto entonces en definitiva para tratar de resolver este problema y que tiene una utilidad y en definitiva una curva de indiferencia en el plano x si hay una restricción presupuestaria lo que podemos hacer es poner juntos la curva indiferencia y la restricción presupuestaria y determinar la mejor canasta que el individuo que el individuo va a poder va a poder comprar entonces o sea este esto que les dije
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recién en definitiva este dado el nivel de ingreso que el consumidor va a tener disponible este resolver este problema va a ser equivalente a elegir una canasta de consumo sobre la curva indiferencia más alejada del origen porque en definitiva el accord vende diferencia más alejada dado el ingreso disponible dado la restricción presupuestaria la curva más alejada la curva indiferencia más alejada el origen es la que le va a
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proporcionar mayor nivel de satisfacción verdad este gesto en definitiva tiene que ver con esta idea de que las preferencias son monótono cuanto más más más consumo es mejor esto quiere decir que cuanto one una canasta que estén sobre una curva indiferencia más alejada del origen dado éste el ingreso disponible los consumidores éste en definitiva va a ser la canasta que va a permitirme alcanzar el mayor nivel de satisfacción o el mayor nivel de utilidad ok esto dicho en palabras lo podemos poner
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lo podemos poner en un gráfico éste vendría a ser la representación gráfica de este problema de optimización este primal digamos que encierra un problema de maximización fíjense que lo que lo que hacemos en este gráfico que es muy similar a lo que vimos a bibliográficos que vimos en la sesión anterior es poner al mismo tiempo la restricción presupuestaria y las curvas de indiferencia en este ejemplo muy concreto gráfica mos este que es del libro del nicholls hombre fijamos tres
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curvas de indiferencia en este bus 11 sub 21 sub 3 este con el está culo en diferencia sub 3 está más alejada del origen y por lo tanto le proporciona mayor nivel de satisfacción al consumidor y esta curva o sub uno está más más aleja más cercana el origen y cuando digo origen me refiero a este punto este y por lo tanto le proporcionan menores niveles de satisfacción al consumidor sí
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este fíjense también que en este plano en el plano x en el plano perdón x x si lo que hicimos fue fue bueno perdón antes de decir esto obviamente como vimos en la sesión anterior este este triángulo representa la restricción presupuestaria pero como estamos asumiendo recuerden que este es uno de los supuestos que hicimos que en definitiva el el individuo va a gastar todo su ingreso en comprar bienes si
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este es el supuesto recuerdan a gastar un poco perdón está un poco marcado si éste es el supuesto o sea en definitiva éste estos esto es una recta esto quiere decir que vamos a por supuesto deberíamos estar parado sobre sobre todas todas toda esta recta ok si este deberíamos estar cumpliendo con esa condición entonces fíjense que este tanto el punto
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tanto el punto a como el punto voy a borrar acá esto que pinte a esta fíjense que tanto el punto el punto voy a borrar todo perdón este tanto el punto a como el punto b como el punto ce y como el punto d en este plano y en el plano x se representan diferentes distintas canastas de consumo no esté claramente si por ejemplo en el caso del punto del punto c si esta canasta de consumo este
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punto está coordenada en el plano si representa este una canasta de consumo x asterisco histérico y así podría podría decir cada uno estos puntos si entonces este para tratar de ganar vamos desde intuitivamente llegar este cuál es la solución óptima dije entonces bueno en una manera medianamente pedagógica de hacer y de hacer esto es hacernos algunas preguntas que yo si estuvieras en clases las haría
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directamente pero bueno nada esté aquí no me puedan responder así que lo voy a responder directamente imagínense qué bueno en una pregunta podría ser ok o sea este punto d es un punto preferible por ejemplo este punto ha sido o sea cuando me refiero preferible es un punto que le da a que es una canasta de consumo que qué que el consumidor prefiere a esta carta de consumo dada por el par por el punto a osea que le proporciona mayor nivel de
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satisfacción que en el punto a y bueno la respuesta debería ser sí y porque sí porque en definitiva de este punto de esta canasta de ésta sobre una curva sobre una curva de indiferencia que está más más alejada del origen entonces por lo pronto por lo tanto o sea esto quiere decir que en definitiva consume más en este punto de consume más de equis y deje que en el punto que en el punto a donde consumo menos por lo tanto ésta ocurren diferencia me le genera mayores
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satisfacción nivel de satisfacción al consumidor o sea que es preferible ahí esto sí es es cierto ahora la pregunta es de éste está esta canasta de es una canasta factible para el consumidor y cuando hablo factible o sea es una canasta de consumo que puede pagar a los precios de mercado y bueno estado su ingreso y la respuesta debería ser no y por qué no por qué porque fíjense que ésta este punto está está
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queríamos estar en esta sobre una curva de indiferencia que para el cual el gasto del ingreso en y perdón el ingreso que tiene que tiene el que él tiene el consumidor no va a no va a poder comprar osea fíjense que está fuera del espacio definido por la restricción por la restricción presupuestaria quiero borrar no se puede borrar perfecto fíjense que en definitiva este punto y este punto de
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está fuera del espacio definido por la restricción presupuestaria sí o sea este es el espacio definido por la restricción presupuestaria este punto está fuera del espacio definido por la restricción presupuestaria ese es un punto que que a los precios de mercado el consumidor no tiene ingresos para comprarse entonces otra pregunta entonces en definitiva de no no no no no es una no es una canasta factible entonces si bien de es un es un punto preferible por ejemplo a no es una
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canasta factible por lo tanto ni de ningún punto sobre esta curva indiferencia representa representa una canasta factible para para el consumidor porque no la puede pagar ok porque no las va a poder pagar a los precios a los precios de marca si entonces fíjense esté buena otra pregunta que podría surgir aquí es bueno este punto este punto si este punto am aquí este es una canasta factible ok de no era de era
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preferible aa pero no era factible entonces la pregunta es a es una canasta factible y la respuesta es sí porque en definitiva fíjense que este el máximo a nivel de ingresos del con digamos el como es el máximo del nivel de gasto que el consumidor puede hacer está sobre sobre esta restricción presupuestaria este punto hasta dentro del conjunto factible si del consumidor entonces efectivamente este este punto a base de este punto que representa una canasta de
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consumo podría ser adquirida por él por el consumidor o si es una canasta es una canasta factible ahora la pregunta es si está esta canasta es una canasta es una elección óptima y bueno la respuesta a esta pregunta sería no sé seria no y por qué porque en definitiva existe en un conjunto de puntos que también son factibles para el consumidor pero que implican puntos este
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que están más más alejados del origen y por lo tanto este son puntos que son puntos que le que le confieren este que dotan al consumidor de mayor utilidad o mayor satisfacción si por ejemplo este punto este punto b fíjense que este punto b es un punto factible y eso es cierto porque está sobre la sobre la restricción presupuestaria si es un punto factible esta canasta es una canasta que el consumidor puede puede
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puede puede comprar si éste y al igual que y al igual que al igual que este que este punto ve uno podría pensar que todos los puntos si todos los puntos sobre la restricción presupuestaria son puntos este que son efectivamente efectivamente digamos el conjunto de canastas que son factibles para para el consumidor la pregunta es entonces en definitiva si todas estas canastas que están sobre sobre la regla
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la recta se sobre la frontera de la restricción presupuestaria y donde el consumidor gasta todo su ingreso este más allá de que sean factibles son todas representan elecciones óptimas y bueno y la respuesta y la respuesta es que no sí imagínense en el caso del digamos este caso este caso de este punto b sí fíjense que este punto b es un punto sobre la frontera la restricción
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presupuestaria un punto donde el consumidor comprando esta canasta estuviera estaría gastando todo su dinero se es una calle es una canasta factible este pero fíjense que hay otros puntos que son factibles por ejemplo un punto que podría estar aquí o un punto que está podría estar aquí que aparte es el factibles le daría el mayor nivel de satisfacción al consumidor y esto es así porque hay otras curvas de indiferencia que acá no están dibujadas pero que podrían pasar por estos puntos por
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ejemplo que podrían pasar por estos puntos y estar más alejada del origen o sea darle mayor nivel de mucho mayor nivel de satisfacción y así podríamos este podríamos seguir hasta hallar un punto como el punto ce si este hasta llegar a un punto como el punto ce que es un punto en donde en donde definitiva este parecería que se cumplen las dos condiciones no es un pues un punto factible porque está sobre
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la restricción presupuestaria sobre la frontera de la restricción presupuestaria y cumple con este supuesto de que el consumidor está gastando todo su ingreso sí y también parecería ser que estamos en en este mapa de curva indiferencia algunas de las cuales yo graphic es el ese es el punto que aparte de cumplir con el hecho que factible es el que le da mayor nivel de mayor nivel de satisfacción al individuo no sea esto es claro para este lado pero también es para este lado verdad pero también es claro si uno
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viene pensando si viene si viene marcando puntos este hacia hacia el noroeste no fíjense que cualquier punto cualquiera de estos puntos si bien son factibles este siempre estarían que estarían en curvas de indiferencia por debajo de esta curva indiferencia de este color indiferencia 2 ok este entonces en definitiva este punto c parecería ser un punto que tiene
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la doble condición si en este ejemplo obviamente que es arbitrario éste justamente para mostrar el punto que estoy tratando de hacer aquí en este en este gráfico en definitiva este punto se parece cumplir con la doble condición es un punto que es factible y es un punto que parecería que es el punto donde donde fue la canasta de consumo sobre la curva indiferencia que me da mayor nivel de satisfacción al consumidor si entonces cumple esta doble condición
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maximiza la función que es la función de utilidad y este y en definitiva cumple con la restricción presupuestaria y es que es que es una canasta factible la puedo comprar en el mercado con mi ingreso a los precios de mercado y en particular me estoy gastando todo mi ingreso en el consumo de estos dos bienes en este punto ce o sea que en definitiva en este gráfico obviamente como decía recién hecho adrede este punto se representa gráficamente una una elección
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una elección óptima entonces la decisión racional de la gente va a ser elegir una canasta de consumo x asterisco y se asterisco representada por el punto c una pregunta relevante es en definitiva que este punto ce que representa en este en este lugar geométrico bueno fíjense
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que este puntos es un punto en donde la curva de indiferencia y sub 2 se hace tangente a la restricción presupuestaria si entonces este punto c es un punto de tangencia entre la curva indiferencia y la restricción presupuestaria si este y este y bueno y este punto de tangencia en definitiva representa un punto en donde las pendientes de esta curva indiferencia y la restricción
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presupuestaria se hacen se igualan si éste si entonces en este punto ce la pendiente de la restricción presupuestaria que está dada por la relación de precios es igual a la pendiente de la curva de indiferencia que si recuerdan bien esta es la pendiente de la curva indiferencia en un punto está dada por la tasa marginal de sustitución sí entonces en definitiva es bien importante este es
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bien importante está esta idea de que la solución óptima al problema optimización va a ser un punto este donde la pendiente de la restricción presupuestaria la relación de precios se iguala a la pendiente de la curva en diferencia este que es en este punto que es que está dada por la tasa marginal de sustitución en definitiva esta condición de tangencia entre la curva indiferencia y la restricción presupuestaria nos va a permitir hallar si va a ser el punto
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donde donde obtenemos la solución al problema de optimización que bajo ciertas circunstancias va a ser también la solíamos nos vamos a asegurar que es una solución que que surge que que su máximo que permite maximizar está está esta función de utilidad y eso lo vamos a ver esté un poquito más más adelante para recapitular solo con la combinación con esta elección óptima x asterisco y
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jazztel isco la tasa subjetiva intercambio que es la tasa marginal de sustitución va a ser igual a la tasa intercambio en el mercado que es la relación de precios si solamente este con esta combinación x asterisco y se asterisco el consumidor va a gastar todo todo su ingreso que era uno de los supuesto que que nos habíamos planteado para para desarrollar el problema y como vimos recién esta canasta óptimas una solución interior si este problema de
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optimización o sea vamos a decir que estamos en el caso una solución interior cuando el consumidor consume estrictamente cantidad de positivas de ambos bienes si eso y eso es importante esta va a ser una característica de amor de la mayor parte de los problemas que vamos a tener que resolver de optimización pero no de todos de hecho este algo que me parece este es importante señalar este es que esto está mal perdón pero voy a aprovechar a
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corregirlo acá o sea algo que es importante señalar que en definitiva no toda esta pregunta sería así elección óptima si no toda elección no toda elección óptima implica una solución interior sí o sea se ha dicho otra manera la pregunta si toda elección óptima que es lo que estamos llegando o sea toda la elección óptima implica una solución anterior o sea que el consumidor consume cantidades positivas del bien xy el bien se hila y la respuesta es que no si no
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toda elección óptimo implica una solución una solución interior este y este es un ejemplo de que esto no es así este fíjense este bueno nuevamente estamos ante un caso obviamente arbitrario y concreto donde las curvas donde las curvas de indiferencia tienen tienen esta forma sí o sea son una pendiente muy grande si esas fíjense que en este punto parecería que la solíamos la solución óptima está en este punto en donde el consumidor éste consume
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cantidades positivas va a tener la elección óptima va a ser consumir cantidades positivas del bien x pero consumir no consumir nada del bien si no consumir nada del bien si éste está fíjense que en definitiva o sea en particular en este caso no podría demostrar que las tasas marginales en este punto no no no son iguales y llosa fíjense que en definitiva este la pendiente en este punto aunque no se
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logre ver bien la pendiente claramente digo la pendiente de la restricción presupuestaria es menos empinada que la pendiente de la curva indiferencia en este punto se hasta esta condición no se no se cumple si este tipo de soluciones se las suele llamar en en la literatura soluciones soluciones de soluciones de esquina tiene sentido o sea que acá estamos digamos es una solución que me implica esto digamos como esquinada no sea tipo consumo nada de un bien y todo
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y todo el otro sea éste el consumidor en este caso decide gastar todo su ingreso en el consumo de xy nada de su ingreso en el consumo deje obviamente está este tipo de preferencias son muy muy específicas estamos hablando del caso donde en definitiva este el consumidor valora muy poco consumir bienes que no fíjense este que en definitiva para consumir pequeñas pequeñas cantidades de bien de bien de bien x va a estar va a estar
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dispuesto a renunciar a mucho del bien del bien del bien lleno o sea realmente no no no le padre no le produce mucha satisfacción son preferencias que reflejan que no le produce no le produce mucha satisfacción este al consumidor consumir el bien y eso se refleja en el hecho de que en definitiva va a terminar gastando todo su ingreso en el bien xy nada en el bien entonces en definitiva la pregunta si toda elección óptima implica una solución interior y la respuesta es no sí y eso va a depender
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fuertemente y las preferencias que estemos que estemos considerando e bueno otra pregunta que también es que viene bien este es bueno o sea sí sí sí en definitiva toda condición de tangencia es una condición necesaria y suficiente para alcanzar un máximo sea esta idea de qué bueno si si en definitiva es una solución que implica este que implica esta condición de tangencia entre la curva indiferencia y
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la y la restricción presupuestaria en este punto siempre que esta situación se dé este eso va a ser una condición necesaria y suficiente con esto estamos para que para que en definitiva éste lleguemos una a una a una a una elección que sea óptima pero en particular que implique que el consumidor está maximizando maximizando su utilidad si la respuesta a esto y la respuesta a esto también es no no necesaria o sea no
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necesarias a la condición de tangencia si va a ser una condición necesaria para alcanzar un máximo pero pero no es suficiente si vamos a requerir algo más para asegurarnos que está que está que esta elección que sí es óptima sea un máximo y no por ejemplo un mínimo si este y digamos para ver esto fíjense o sea para ver un poco un contraejemplo vamos a fíjense este gráfico en donde dibujamos estas
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curvas de indiferencia nuevamente que son arbitrarias para mostrar el punto fíjense que en definitiva este este punto ce es un punto de tangencia entre la curva indiferencia y la y la restricción presupuestaria donde en este punto la relación de precios igual de la tasa marginal de sustitución si ahora fíjense que sin embargo éste ahora en la pregunta es éste uno podría decir bueno si ésta fuera una condición necesaria y suficiente este punto se sería un máximo sí y la respuesta sería un máximo o sea seguir una situación en donde estaríamos
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maximizando nuestro nivel de satisfacción en nuestro nivel de utilidad dado leamos este dado los los datos de este problema de ingreso y precios y las respuestas no porque fíjense que en definitiva tenemos por aquí este punto ve si fíjense que este punto ve en definitiva es un punto que le da mayor satisfacción al consumidor y porque esto es así porque fíjense que este punto ve este si uno siguiera a la forma de dibujar acá si no seguirá la
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forma de estas curvas e indiferencia uno diría que tenemos una curva de indiferencia que pasa por aquí no que le podemos llamar westwood v si éste y en definitiva fíjense que este punto b está ubicado en la curva indiferencia que está más alejada del origen si éste y por lo tanto que le proporciona mayor de nivel de satisfacción que este punto que este punto c sin embargo este punto viene no es un punto que implique una condición de tangencia en este punto o
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sea en este punto de hecho este claramente este la pendiente de la curva indiferencia no es tan gente a la pendiente de la de la restricción presupuestaria ok este entonces en definitiva este bueno digamos en este caso particular el hecho de que ésta de que la condición de tangencia no implique que estamos ante una situación de que no estamos
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resolviendo un problema de modo que no estemos hallando un máximo aún cuando estamos hallando en este caso una una elección que es óptima aunque no es un máximo está asociado el hecho de que en estas curvas específicas que estamos dibujando aquí este diferencial hasta la tasa marginal de sustitución es decreciente si no se cumple es eso es ese no se cumple esta idea que también discutimos bastante en la sesión anterior de que la tasa marginal de que
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la tasa marginal sea decreciente en este caso claramente las tasas marginales de sustitución no son decrecientes en toda esta curva en toda esta curva de indiferencia entonces estrictamente este el supuesto si hiciéramos queríamos hacer el supuesto de que la tasa marginal de sustitución de la de la curva indiferencia es decreciente es la condición que nos aseguraría que el punto de tangencia es una condición
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necesaria y ahí sí suficiente para para para un máximo no entonces en definitiva si el hecho de digamos que la condición de tangencia de que precios en relación de precios igual a la tasa marginal de sustitución condición de tangencia de kunda corroen diferencia en un punto y la restricción presupuestaria hacia esa condición le sumamos el hecho de que estamos ante una curva en diferencia que tiene tasa marginal decreciente en definitiva éste solamente nos asumiendo
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haciendo el supuesto de tasa marginal de tasa marginal de sustitución decreciente la condición de tangencia va a ser una condición necesaria necesaria y suficiente pero tenemos que asumir esto tenemos que tenemos que asumir o tenemos tener un problema donde veamos claramente que la curva indiferencia [Música] tiene una tasa marginal de sustitución decreciente o que la función en definitiva la función de utilidad es convexa recuerdan que también no esto lo discutimos en la sesión anterior que ocurre sin diferencia que son convexas
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en definitiva son curvas indiferencia que tienen tienen tasas marginales de sustitución que son decrecientes entonces bueno el resultado clave de todo de todo esto que hemos venido hablando en los últimos minutos es que en definitiva una canasta óptima sin una elección óptima va a ser un punto de tangencia esté entre entre la restricción presupuestaria este y la curva indiferencia si y sólo si éste sí
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sí sí la la la la la pendiente de la restricción presupuestaria que la relación de precios se iguala va a ser igual a la la pendiente de la curva indiferencia que es la tasa marginal de sustitución si a esto le tenemos que sumar que si el consumidor tiene preferencias estrictamente convexas esto quiere decir que las tasas marginales de sustitución son decreciente estaremos seguros que esta canasta aparte de ser
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una elección óptima digamos va a ser una canasta de consumo que aunque que va a implicar que hace máximo digamos el nivel de utilidad del consumidor que es la función auge y no solamente es una es una solución óptima sino que es un ingreso es una solución óptima para un problema de maximización nos es una solución que permite alcanzar el máximo de la función en este caso la función de utilidades del consumidor ok entonces esto digamos en definitiva este
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problema que resolvimos de manera gráfica o sea que vimos cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para para que para que para que el consumidor pueda resolver el problema de optimización no sea elegir este en definitiva esta canasta que va a maximizar su función de utilidad y que si una canasta que efectivamente puede comprar los precios de mercado este lo podemos desarrollar también de manera analítica sí o sea y el problema en él
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el problema este de optimización este en términos más análisis en términos analíticos lo podemos plantear de esta manera siempre va a tener la misma estructura en definitiva va a ser un problema como si fuera un problema optimización matemático en donde en definitiva lo que digamos lo que tenemos es una función objetivo así que en este caso la función utilidad que queremos maximizar queremos hacer el máximo de esta función de utilidad sujeto a una restricción a una restricción que en este caso va a ser la restricción presupuestaria y es el hecho de que
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el individuo este digamos pueda pueda pueda pueda puede adquirir esta canasta de consumo con el ingreso con el ingreso nominal que tiene disponibles y en particular vamos a tener que esta restricción se cumpla de manera estricta o sea que el el individuo en defensa en definitiva será tengo que cumplir esta canasta va a tener que cumplir con el hecho de que éste va a ver el consumidor va a tener que gastar todo todo su ingreso en el
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consumo de ambos bienes en gasto en ambos bienes y este sí bueno yo acá acá puse el ejemplo una solución interior en general vamos a asumir que las funciones de utilidad son funciones de utilidad bien con portadas este y bueno vamos a llegar a soluciones que son soluciones interiores pero en algunos casos este por eso llegamos a soluciones de esquinas pero vamos a ver cuando pongamos algún ejemplo concreto con funciones de utilidad más concretas
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acá son un poco más abstractas si lo importante aquí que para resolver eso hay muchas maneras de resolver el problema un problema de optimización o sea en este caso ya resolver este problema de maximización en el curso y acá vamos a seguir un poco el libro del curso vamos a utilizar una técnica específica que es el este que es la técnica de los multiplicar la técnica los multiplicadores de la granja como a veces que se conoce como los la gran ya
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no si este función es la granja nash quien en particular lo que vamos a hacer es éste en lugar de resolver este dejamos de tratar de resolver esta de tratar de maximizar esta función en este lo que vamos a hacer es smart in digamos resolver un problema que implica maximizar esta función que es la función la agradece esta función la granja que tiene la función objetivo más este una variable que es el multiplicador de lagrange en este caso por la restricción
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presupuestaria si este lo interesante de la grande amos debemos de expresar esta función objetivo inicial en esta función la granja na es que en definitiva la solución a la solución a este a este problema si la solución para este problema va a ser exactamente igual que la que la solución a este problema ok entonces éste como ya sabemos o sea como
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ustedes han visto al matemática han visto en sus cursos de secundaria para resolver este este para ramos para encontrar un máximo lo primero que tenemos que nos tenemos que plantear las condiciones de primer orden si éste y las condiciones de primer orden en este ejemplo implican derivar las estas funciones de la gran ya no en relación a las variables que son parte del problema y acá hay tres variables x xi y lambda tíos entonces vamos a derivar esta
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función de esta función en relación a x esta función en relación a g y esta función es en relación a la alhambra si toman derivadas esto es bastante sencillo pero bueno si tienen alguna duda se lo dejo para que lo hagan en su casa pero en definitiva está este al tomar derivadas nos quedan estas nos quedan estas expresiones que vamos que vamos a que vamos a igualar a igualar a cero o sea tenemos tres variables si
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tenemos tres variables tenemos 33 ecuaciones esto es un sistema determinado este podemos en definitiva podemos trabajar un poquito con las con las tres ecuaciones este y llegará vamos a obtener las soluciones las soluciones óptimas hasta a este sistema es un sistema determinado este que estas soluciones óptimas van a ser x x estrella en este caso qué es lo que nos interesa y se estrella que van que
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van a ser las elecciones óptimas a este problema ahora bien la duda que nos puede quedar aquí es si en definitiva efectivamente estas estas soluciones x asteriscos asterisco corresponden a un máximo si éste qué es lo que me interesa porque son definitiva en este caso lo que quiero hacer es el máximo de la función de utilidad entonces la pregunta que surge acá es y x es 36 y se estrella son son elecciones que corresponden a un máximo si éste y uno lo que debería lo
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que digamos lo que debería hacer en este en este caso son dos cosas o sea si uno quisiera seguir pensando más en un problema matemático lo haríamos para estar seguro que estas soluciones son soluciones de máximo deberíamos hallar las condiciones de segundo grado este hacer que tomar derivada segunda de estas de estas ecuaciones éste y en función de del signo de estas derivadas segundas éste nos estaríamos asegurando de que estas soluciones son soluciones de máximo si
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una alternativa éste podría hacer esencialmente este enfoque mirar cómo es la función de utilidad en este caso esta función de utiliza abstracta no tiene una forma concreta pero esto no es una forma concreta una ecuación es una una función concreta podríamos chequear si en definitiva esta función es convexa o si tiene tasa marginal de sustitución decreciente y si esto es así estaríamos seguros que estas estas contras estas soluciones son
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soluciones es compatible con un problema de maximización es simplemente para seguir adelante y por qué y por qué acá tenemos una función concreta vamos a suponer que estamos ante un caso de en donde las tasas marginales de sustitución son decreciente entonces en definitiva esta solución a este problema esta solución a este problema va a ser va a ser una elección va a ser una solución óptima al problema de maximización no se va a ser una solución que me va a dar un máximo en este caso
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el máximo nivel de utilidad entonces éste bueno una cosa que es que es relevante es que en definitiva estas condiciones de primer orden van a tener cierta interpretación económica este fíjense que en definitiva parte de lo que lo que hicimos al resolver voy a borrar un poquito acá parte de lo que hicimos al resolver este problema fue éste fue es despejar lo que uno haría esto usualmente para resolver este sistema de ecuaciones es despejar si éste
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estas ecuaciones acá con algunas variables de estas ecuaciones puedes ir a la ira la restricción presupuestaria si entonces fíjense que si despejamos estas dos ecuaciones en este caso lambda si imagínense que despejamos landa landa en esta primera en esta primera ecuación no es otra cosa es que esto lo pasamos para este lado sí está la derivada de un relaciona en relación a x sobre el precio el bien x éste
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fíjense que en esta ecuación 2 lambda es igual la derivada de un en relación ayer / el precio el bien sí sí o sea entonces esencialmente lo que puedo hacer es igualar estas dos estas dos ecuaciones y al igual no sabe mucho no sé muy bien pero al igualar estas dos ecuaciones y despejar a lo que estaría llegando es en definitiva a que este a que la derivada de estaría llegando a esto voy a mostrar lo más claramente acá
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no estaremos llegando a ésta esta solución que en definitiva está despejando holanda este la relación de precios si la condición de primero definido la condición de primer orden implica que la relación de precios va a ser igual al cociente utilidades marginales si voy a vueltas y despejar amos land acá igualando holanda si podemos despejar este precios por un lado y utilidad marginales por el otro y éste ya lo que vamos a llegar es que en definitiva las condiciones de primer orden de estas dos primeras ecuaciones
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el sistema este de ecuaciones este implica que la relación de precio tiene que ser igual al cociente utilidades marginales y como ustedes recordarán el cociente utilidades marginales no es otra cosa que la tasa marginal de sustitución entonces en definitiva en este fíjense que no o casualidad que las condiciones de primer orden digamos diríamos lo que implican es esta condición de tangencia que como veíamos cuando éste derivamos este problema de manera gráfica era la condición clave para asegurarnos que
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estamos esté eligiendo una canasta que fuera óptima si entonces en definitiva esta solución x estrella y se estrella va a ser el punto de tangencia entre sin duda va a estar reflejando este punto de tangencia entre la relación de precios y la curva indiferencia que no es otra cosa que la relación de precios relativos tasada este sin la relación de precios relativos este y la tasa marginal de sustitución siguió obviamente esta está ésta esta condición de primer orden la puedo generalizar
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para el caso para el caso de n bienes ok una cosa que también es interesante es que es que en definitiva lambda que es una variable es este multiplicador de lagrange tiene una interpretación económica que que por ahí vamos a usar un poco en este curso pero que en general se usa bastante para restar para disparar resolver y en particular para interpretar algunos problemas económicos si este fíjense que este definitiva yo
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les decía hoy al principio que hay perdón este les decía hoy al principio que en definitiva lo que estamos haciendo aquí es despejar las manos y despejar ambos landa a lo que llegamos es que en de la ecuación 1 y la ecuación 2 este llegaríamos a aquel que este cociente de estos dos cocientes serían serían iguales si entonces fíjense que en definitiva que nos está diciendo lambda que tenemos en este cociente si nos hablan de a es iguales
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a estos dos cocientes este fíjense que tenemos en este cociente aquí arriba lo que tenemos es la utilidad marginal y aquí abajo lo que tenemos es digamos es el precio que el precio no es otra cosa que una unidad monetaria una podría definir el precio como la unidad monetaria adicional de gasto en el consumo de alguno de los bienes por ejemplo sea gasto o sea en este caso el gasto imagínense el gasto en el precio el gasto en el bien x es precio por cantidades entonces gastar un peso a
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discos el gasto en una unidad adicional esté en el consumo de bien x no es otra cosa que el precio verdad o sea entonces en definitiva este este cociente lo que me está diciendo es que la utilidad marginal y la utilidad marginal de una unidad adicional de gasto en el consumo de ambos bienes y esto es lo que me está reflejando la cndh así que digamos cuál es la implicancia de landa en este
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contexto fíjense que lo que me está diciendo aquí es son dos cosas por un lado que este peso adicional gastado en cada en cada bien debería representarla misma utilidad adicional al consumidor o sea si hacer lo que me está diciendo que está que este peso adicional en el gasto de cada uno de estos bienes debería ser este primero es constante si va a ser constante en opuesto en definitiva es una es una costa digamos para ser constante y va a ser exactamente el
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mismo entre para el bien x y para y para y para y para y para el bien para el bien se si esto es una esto es algo que vamos a usar por con este curso pero que vamos a tomar probablemente si siguen adelante en la carrera economía hablar va a ser una propiedad que van a usar un poquito más si entonces éste [Música] a partir de entonces a partir de las canastas a partir de las condiciones de primer orden y también de las condiciones de segundo orden podemos
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llegar a la función y solución del problema de maximización es que era en definitiva lo que queríamos llegar que en general para el caso de dos bienes que es el caso que venimos analizando va a tener esta forma esta forma general sí o se va a ser una función si éste para ser una función que va a depender de los precios de los bienes y del ingreso y esto es algo que vamos a ver más concretamente cuando pongamos funciones de utilidad específica específica perdón pero pero estas
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funciones demandamos estas funciones de solución van a hacer funciones que dependen de precios ingresos si esta función es solución al problema de maximización que van de los precios ingresos se conocen este esta vamos a denominar pero se conocen en la literatura como funciones de demanda marcha liana o sea que son funciones implícitas de los parámetros de la restricción presupuestaria recuerden que la restricción presupuestaria en definitiva de los
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parámetros que son digamos datos para los consumidores o sea que no son parte de sus elecciones son los precios y los ingresos sean definitiva esta función de demanda si éste va a ser va a ser una función que va a depender implícitamente de los parámetros de los precios de mercado y del ingreso sí y en particular entonces estas canastas de esta canasta de consumo x este optima que se estrella y ser estrella va a representar la cantidad de ambos bienes que el consumidor va a elegir o sea en particular va a demandar
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si enfrenta a estos precios y el ingreso disponible que tiene si este entonces estas funciones x xy asterisco éste van a ser funciones de más de individuales funciones de demanda marcharían y vamos a hablar sobre esto también un poco más adelante si entonces este otro otro elemento y hemos importado otra implicancia importante de resolver
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este problema optimización es que en definitiva esta canasta de consumo óptimo sí que analíticamente va en términos generales para depender de precios ingreso pasarelas o luces la solución al programa de optimización y entonces en definitiva la función de utilidad sigue en definitiva recuerden que el staff de amos el objetivo era maximizar de esta función entonces esta función de utilidad en la solución óptima si éste lo que me va a permitir a
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mí es es obtener cuál es la utilidad máxima si que deriva este consumidor de consumir x estrellas y estrellas unidades de bien x enganche y éstas ósea esta función de utilidad valorada y valorada en la solución óptima la vamos a hablar vamos a denominar función de utilidad indirecta porque función de por qué función de utilidad
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indirecta está aquí es la función de utilidad indirecta porque función de utilidad directamente finita es la función que es una función de utilidad directa porque es una función que depende indirectamente si éste fíjense que ésta es una función de es una función de funciones si ese tipo es una función es indirecta porque dependen directamente de los precios de los precios y del ingreso y esto es esencialmente lo que hice acá fue nuevamente sustituir las soluciones óptimas en la función de utilidad entonces la función de utilidad en este
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caso ya no depende de xy sino que depende implícitamente de precios e ingreso que son los parámetros las variables de las cuales depende xx y si está entonces en definitiva esta función de utilidad indirecta es la es la función de utilidad valorada en las soluciones óptimas del problema de maximización si este una propiedad que va a tener esta función de los digamos de utilidad
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indirecta es que va a ser una función homogénea de grado de grado cero que quiere decir éste que sufre una función sea homogénea de grado cero por ejemplo imagínense en este caso concreto que es una función que depende de precios ingresos lo que vamos a estar diciendo es que si se duplicarán los precios y el ingreso de las cantidades óptimas demandadas no sufrirán cambios o sea repito vamos a hacer vamos a decir que esta función de utilidad que depende indirecta que depende de precios ingresos va a ser una función homogénea
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grados 0 sí por ejemplo si se duplican los precios y el ingreso pero la cantidades óptimas no tienen bandadas no sufrirán cambios y esto tiene sentido porque en definitiva si precios e ingresos cambian en la misma proporción eso real es la capacidad de compra de los individuos no cambia y la relación de precios tampoco porque en definitiva la relación de precios la relación de precios es la misma por para seguir siendo la misma porque los precios se duplican en este ejemplo concreto ambos dos donde la relación de precios sigue
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siendo la misma la tasa marginal de sustitución no se altera porque digamos cuando cambian los precios ingresos la curva indiferencia no sufre cambios porque los cambios están dados por la restricción presupuestaria y en definitiva este si la relación de presión no cambia si este mis capacidades compra no cambia si la tasa marginal de sustitución no cambia entonces por más que empresas ingresos se dupliquen o se incrementen o se reduzcan en la misma proporción las cantidades demandadas no no van a cambiar y esto implica entonces que esta
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función de justine hénin directa sea seamos genialidad o sea homogénea de grado cero sí y para ir terminando simplemente acá lo que pongo es un ejemplo sencillo del que está en el libro en el licor son el libro del curso aquí en realidad la principal diferencia en términos del problema este problema de optimización que demostré antes es que es que le podríamos poner una forma concreta a la función de utilidad este no mucho más
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concreta desafortunadamente pero pero bueno es una función de utilidad concreta que nos habla de preferencias específicas este en este caso estamos hablando una función de utilidad del tipo code a glass este que recuerden que tenía esta forma no era una función de utilidad este que tenía una forma de esta forma no entonces éste lo interesante acá es que estamos seguros que esta función de utilidad que es el tipo de contables tiene tasa marginal de sustitución que es decreciente si es una función convexa entonces éste
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nada en definitiva lo que vamos a hacer vamos con esto lo que ya sabemos es que es que la solución que surge de resolver este problema va a ser una solución que va a implicar un máximo la solución x y ya que obtengamos de este problema dado esta función de utilidad estamos seguros que basa una función que va a maximizar esta función ok entonces lo que hacemos es éste plantear de vuelta en la grande la función la granja nano que depende de nuevamente es la función objetivo más la
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restricción presupuestaria x lambda hallamos las condiciones de primer orden este acá simplemente que hacer un poquito de álgebra y digamos si llegamos a que estas derivadas tienen esta forma igualamos a cero como hicimos la vez digamos anteriormente lo que hacemos es acá despejar lambda de estas dos ecuaciones de la ecuación 1 y la ecuación 2 entonces podemos igualar el anda de ambas ecuaciones llegamos a esta expresión que no es otra cosa que la
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relación de la relación de la relación de precios es igual a la tasa marginal de sustitución si que ésta es esta parte de esta ecuación este después podríamos despejar alguno de estos parámetros si e ir a la restricción presupuestaria y hallar equis o ye dependiendo que hayamos despejado y de resolver esto a lo que llegamos a que en definitiva este x si el x estrella el x óptimo va a tener esta forma esa estrella va a tener esta forma
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fíjese que en definitiva este fíjense que en definitiva en este caso este con una función utilidad más concreta x estrella es una función si en este caso de precios del bien xy del ingreso y en este caso se estrella es una función de los precios del viaje y del ingreso para esta función nos eso son funciones que como dijimos antes dependen de precios e ingresos pero en definitiva en este caso concreto en esta función tenía concreto
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dependen solamente el precio de digamos del bien y no del precio del otro gobierno en este caso tenemos expresión bien xy este en este caso tenemos el precio de bien si estas son las demandas marcha dianas individuales de bien x y bien se lo que podríamos hacer es con estas demandas ir a la función de utilidad y obtener cuál es el nivel de utilidad máxima si lo que hacemos es simplemente sustituir este sustituir en la función de utilidad este
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x estrella y se estrella que sería esto que hicimos acá y al sustituir x es 36 estrellas y esencialmente sin trabajar mucho a lo que llegamos es que en definitiva esta función de utilidad máxima que es igual a que es la utilidad la función de tenía indirecta es efectivamente una función que depende de los precios e ingresos y bueno ahí está la forma del multiplicador del multiplicador de lagrange y bueno y con esto terminamos este esta ésta esta sesión de esta
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segunda sesión de hoy que me la cual digamos nos metimos de lleno en resolver el problema de elección del consumidor y lo que tomamos fue una de estas primeras alternativas que es pensar que este problema del consumir es un problema de maximización este sujeto una restricción presupuestaria lo resolvimos en la sesión que viene este lo que vamos a hacer es resolver el mismo problema pero tomando un camino diferente asumiendo que el problema no es un problema de maximización sino que es un problema de
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minimización donde el consumidor quiere minimizar su gasto sujeto una restricción que en este caso es que quiere llegar a un nivel de satisfacción dado ok bueno desde los los espero en la próxima sesión

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