Clase 19 S2 Aplicación Derivadas 1 - Razón de Cambio y Criterios de 1era y 2da Derivada

Clase 19 S2 Aplicación Derivadas 1 - Razón de Cambio y Criterios de 1era y 2da Derivada

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ahí está grabando de chicos buenos días a todos les saludo el día martes ya nos vamos a ver que estamos trabajando en la segunda unidad del curso que tiene que ver con derivadas y se podría decir que nosotros ya cerramos la primera parte de la unidad que es todo lo que tiene que ver con el cálculo de derivadas ya dicho de otra manera si nosotros hablamos de derivadas
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y hoy lo único que no puede ver la pantalla yo sé que es el reto si yo quedo bien y como no ves tú me ves a mi camino no veo su foto voy a volver a entrar si salgo y dentro del dale saliente pero ahora voy a hacer el esquema miento el resto de huarte danielle gracias genial entonces yo les decía estamos viendo derivada de ahí nosotros vimos un poco
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de qué es una derivada cierto un poco digo porque hay tanto más paño de cortar y también vimos el tema de cómo se calcula ya y en este cómo se calcula podríamos decir que hay dos partes cierto que una que esa mano con formulario a mano usando y fórmulas
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y por otro lado ustedes también saben que lo pueden resolver o calcular usando software o bien [Música] páginas online que en estos tiempos cierto desde el otro camino que nosotros estamos ahora sin embargo sin importar el cómo se calcula todo esto va a derivar es lo que vamos a comenzar a ver hoy que es la aplicación
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de derivada y cuando hablamos de aplicación de derivada tenemos voy a decirlo así varios tipos o varios aspectos y yo me voy a concentrar particularmente hoy día en 21 que tienen que ver con bueno les voy a conversar de tres pero pero voy a particularmente voy a los dedos 1 que es el concepto de razón de cambio el término general vamos a conversar un poco de física de distancia velocidad y
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aceleración y finalmente a lo que me importa llegar que esa optimización ya entonces más o menos lo que pretendo conversar con usted los primeros dos conceptos los voy a hablar un poco más en general no me meto mucho más ahí pero si se los voy a conversar y dónde vamos a poner el foco en el tema de optimización ya y aquí en eso es lo que pretende realizar el día de hoy ya así
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que partimos de inmediato y les dejo esta primera fotito y nos largamos entonces vamos a hablar de la derivada como primera como primera apreciación considerándola como razón de cambio para eso vamos a colocar acá un título razón de cambio y cuando uno habla de razón de cambio usualmente
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utiliza la anotación de la derivada de algo voy a colocar aquí f de x y lo que se lee ahora es cómo cambia efe la variación de efe a medida quién cambia x la variación de f a medida que cambia xy esto se puede visualizar bastante
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bien por ejemplo con una función simple como 2 x + 1 si consideramos la función 2 x 1 y hacemos una tabla de valores simple por ejemplo yo puedo evaluar el menos 1 puedo evaluar el 0 puedo evaluar el 1 y puedo evaluar el 2 cuánto es esta función evaluada en 1 efe de menos 1 alguien alguien me voy a ir
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-1 nos daría menos son súper bien un cero sería un sería uno en uno 33 y en 2 con 5 entonces aquí uno puede decir más o menos lo siguiente a medida que x varía de uno en uno fx varía como tubería de viento varía de dos en dos
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en este caso es súper simple porque yo estoy yendo de menos 1 a 0 de 0 1 de uno en uno acá es de menos 11 son 2 de 13 son 2 y de 3 a 5 son dos entonces esta situación se visualizan quiere cuál es la derivada de esto 2 este este concepto de dos en dos uno lo puede observar el padre aquí está esa razón de cambio en este
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caso de este problema ahora obviamente obviamente la situación que yo estoy ejemplificando acá es bastante simple si la función les cambia y tenemos una función de otra naturaleza este análisis va a ser un poco más evolucionado pero la idea es esa ya voy a mostrarles ahora otro ejercicio u otra y de aquí e qué tiene que ver con razón de campo otra idea de razón de cambios tiene que ver por los siguientes aquí voy a colocar un muro pero el piso ya voy a
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colocar un muro en su muro y a este muro le voy a apoyar una escalera esta es una escalera soy súper malo para dibujar en perspectiva así que olviden que esto va a quedar bonito pero vamos a dejar ahí una y una escalera desde aquí aquí hay una distancia voy a colocar de 1 desde aquí aquí hay una altura que le voy a colocar
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antiguo y lo que se puede visualizar en esta situación es una relación hay una relación / la distancia de 1 y el altura y alcanza la escalera h observar esa idea cierto que si yo esta
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distancia la hago más pequeña en la altura h1 va a ser más alta y de la misma forma si esta distancia de uno se hace más grande en la altura va a ser más baja la escalera va a llegar más bajo eso lo visualiza cierto entonces ahora por ejemplo voy a establecer una altura de sólo una altura un largo estándar para esta escalera con qué objetivos con el objetivo de construir mi función entonces mira lo
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que pasa pues es decir que esta escalera es de 25 metros entonces utilizando teorema de pitágoras voy a establecer la siguiente idea h1 simplemente 81 al cuadrado más de uno al cuadrado es igual a 2,5 al cuadrado estos simplemente es teorema de pitágoras y de aquí yo voy a establecer una
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función ya una función quien me va a dar o me va a permitir calcular una cosa de versos la otra por ejemplo yo puedo decir que el altura depende de la distancia en el suelo y eso va a ser igual a la raíz de 2,5 al cuadrado menos d al cuadrado h y alguien tiene duda de cómo llego de aquí aquí
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y y yo no profes pero por lo que este tío es para poder pasar a la función a algo tiene que depender de otro claro y aquí tú puedes elegir si tú quieres que la altura dependa de esta distancia o que la distancia dependa de la altura puedes elegir obviamente cuando uno ocupa una escalera lo que yo quiero es lograr altura por lo tanto voy a hacer que la altura dependa de esta distancia porque lo que yo puedo controlar es esta
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distancia de acá ya técnicamente yo podría haber despejado el d pero lo que a mí me importa es la altura donde llegó por lo tanto por eso despejó el h se entiende alguna otra duda chico pero ahora si yo tengo esto entonces obviamente es que h es la altura que alcanza la escalera porque es la distancia
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de desde el muro apoyo al punto de apoyo es solo para definir variables entonces por ejemplo yo puedo decir que significa hd 1 que es hd 1 alguien que la escalera está a un metro de distancia de vh1 y la escalera estaba un metro de distancia de la base del muro esto y hd uno es la distancia perdón y la
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altura la que va a llegar entonces llega el culo aquí 25 al cuadrado menos 1 cuadrado y esto va a ser que no tengo mi calculadora libro cómo usar el teléfono con 29 0 c total si al menos medio no se distrae bien 2,69 ciento perdón 229 había sumado dos puntos significa que
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cuando la escalera está a un metro de la base ya desde el punto de apoyo en la altura a la que llega es 2 puntos 29 metros que fija obviamente menos que 2,5 y así yo podría hacer otro cálculo pero la pregunta a la que vamos a nosotros a apuntar es la siguiente como varia en la altura alcanzada alcanzada
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si esto aumenta si de aún no está y d aún está esa es la pregunta y aquí voy a hacer si a medida que esto aumenta se fijan como esta escalera empieza a caer podríamos hacer una pregunta más rebuscadas y si el esto se empieza a resbalar en cuánto tiempo esto cae por ejemplo podría ser pero vamos
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más simple cómo varía esto a medida que promovería la lectura medio el otro acá vamos a borrar y control entonces vamos a hacer un dibujito un poco más acá para tener más fácil tenemos ahí ahí bajo d h la función que estamos trabajando es h es igual a la raíz vemos como 5 cuadrado
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y la pregunta es cómo varía h cuando ves aumenta [Música] entonces vuelvo a esto cuando h pues no cuando de esta estancia era 1 en la altura a la que llegamos era 229 metros cierto pero en realidad lo que yo quiero saber es cómo varía en la altura cuando esté de va aumentando y para ello lo que vamos a hacer es calcular la variación
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dh de h y aquí elegí una mala letra porque este de ese me va a confundir con ese ya sí que lo voy a cambiar le voy a colocar una s no me había dado cuenta de esos ojos con las variables siempre entonces de esta distancia en ese h d s este es ese cuadro es como cuando se aumenta entonces la variación de h cuando varía
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y esto no es otra cosa que la derivada de eso alguien me puede decir cuál es la derivada de eso a mano o bien o bien con software si es que lo quieren hacer eligiendo y alguien y y vale bueno esto es una función compuesta tenemos una raíz y dentro de la red
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tenemos 25 menos ese cuadrado para los que estuvieron atentos y ejercitando el fin de semana esto es reglas de la cadena tenemos esa función y dentro tenemos tenemos esa y dentro tenemos esa por lo tanto lo primero que voy a derivar es esto que va a ser 1 / 2 la raíz de eso y luego derivamos esto que es menos 2s por lo tanto la derivada de esto va a ser igual a lo siguiente va
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a ser uno dividido 2 x a raíz de 25 veces cuadrados 1 / 2 por la raíz y luego esto lo multiplicamos por la derivada de lo de adentro que es menos 2 s y esto obviamente puede presentarse de una mejor manera simplificamos esos dos y obtenemos que la variación de h cuando varía s es
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igual a menos s / 25 - s cuadrado aquí tenemos algo bastante bastante interesante voy a sacarle una fotito eso antes de continuar así un día aquí tenemos algo bastante bastante particular porque en nuestro resultado que es esto que está acá
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nosotros podemos utilizarlo o trabajarlo como podamos y obtenemos lo siguiente la variación de la altura cuando varía el s qué es esto de abajo se calcula con la fórmula menos s / 25 - s cuadrado y eso en raíz entonces qué pasa si evaluamos esto para empezar si
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ustedes observan el resultado de esto va a ser un número negativo porque arriba es negativo y abajo es positivo entonces el resultado de ser negativo y eso tiene todo el sentido del mundo ya que el altura cuando l se aumenta disminuye si este se aumenta el tour es disminuido por lo tanto la variación de h va a ser negativa entonces ahora qué pasa si evaluamos el 1 en aquí es decir la derivada
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evaluamos el 1 el s igual esto sería menos 1 / 25 al cuadrado el toma al cuadrado al cuadrado y menos uno cuadrado bueno también calculadora si alguien puede hacer cálculo mientras me comentan ya esto sería entonces es acá abajo teníamos este tipo de valor de adelante
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cuando evaluamos el uno no se acuerdan quiere 2.29 no i pero si fuese valor la especialidad menos 1 / 229 aprox y eso aquí ya es aprox y sería uno dividido 2.29 y me da como resultado 0 43 aproximadamente no
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entonces ahora hay que interpretar este resultado y aquí es donde yo siempre les comento que uno debemos interpretar este resultado que me puede comentar qué significa este resultado que está aquí alguien se atraen alguien quiere hacer alguna conjetura ah qué significa diría profe que mientras ese avance
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1 h 0.43 ya super bien pero ahora digámoslo con lo que está planteado el problema cuando s cuando s y avanza o aumenta un metro entonces qué pasa con h disminuye 0,43 exactamente h disminuye
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0 43 metros o bien 43 centímetros entonces lo que estamos planteando es que esta función que es la derivada de la original me está indicando cómo cambia una variable con respecto a la otra cuando analizamos la función en su forma original nos daba a la altura ésta nos da como varia esa altura cuando varía la otra variable ya y esto bueno le podemos dar la fotito
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después explicó y este este tipo de resultados es súper valioso porque uno puede trabajar situaciones bastante contextualizadas por ejemplo en lo más clásico que no se puede trabajar con esto es como se llena un tanque con agua y ese tanque cuando se empieza a filtrar o cuando empieza a hacer un hoyo cómo varía el nivel del agua del tanque cuando tú tienes una salida de agua eso ya es bastante contextualizado pero esa es la idea
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consulta chicos hasta ahí estamos bien nada [Aplausos] es decir desde muerto continuamos entonces el siguiente ejemplo que les voy a hacer no voy a desarrollarlo como tal sino que más bien solamente les voy a explicar algo que desde el punto de vista lógico nosotros todos manejamos pero ahora quiero que lo observemos un poquito desde el punto de vista de las derivadas ya que es
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cuando nosotros tenemos una distancia [Música] desde a hasta vez existe una relación que es la relación más simple y básica de la física que es que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo si nosotros queremos saber cuánto nos demoramos dividimos la distancia por la velocidad si queremos saber la velocidad dividimos la estancia por el tiempo
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etcétera etcétera etcétera pero si esto lo desarrollamos desde el punto de vista del cálculo y de las derivadas existe una relación aquí de razón es de cambio ya y esa es viene ser lo siguiente si nosotros tenemos una función y esa función no se entrega la distancia recorrida en un tiempo determinado la derivada de eso la distancia
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la distancia el tiempo si nosotros todo lo derivamos se obtiene la variación otra vez le puse la vez no tengo que usar la de olvidos preocupar la s si nosotros aplicamos la derivada esto es decir calculamos la variación de s en un tiempo determinado es decir derivamos s con respecto a t esto es la velocidad cuando uno deriva en la distancia
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la fórmula de estancia se obtiene la velocidad y de la misma manera si nosotros tenemos la velocidad y calculamos la variación de la velocidad con respecto al tiempo es decir derivamos la velocidad saben que alguien [Música] de aceleración exacta y entonces en términos de razón de cambio la relación entre la fórmula de
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distancia fórmula de velocidad y fórmula de aceleración es una derivada la variación de la distancia con respecto al tiempo de velocidad la variación de la velocidad con respecto al tiempo x es aceleración se los dejo ahí voy a colocar aquí como si tenemos la distancia gente y se deriva está la velocidad
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gente y se deriva está la aceleración la gente siempre decía aquí hay una deriva y eso se los dejo está en la guía número 3 está esa misma relación que les acabo de entregar así que no puedo revisar y ahora me voy a enfocar en la parte más importante lo que al menos a mí me gusta darle un poco más de foco que es optimización ya la optimización desde el punto de vista usual tiene
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bastantes en definiciones por decirlo de alguna manera porque yo puedo optimizar de varias formas por ejemplo si yo tengo un trabajo ya sea llegar a un punto a de un punto ver y para ese trabajo ocupo recursos y ocupo tiempo optimizar podría ser hacer el mismo trabajo en tiempo o hacia el mismo trabajo en el mismo tiempo pero con menos recursos o bien hacer el mismo trabajo en menos tiempo y con menos
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recursos cualquiera de esas tres cosas se podría considerar como optimización por ejemplo si yo estoy construyendo voy a decir una casa puedo pensar en optimizar ocupando menos hombres ocupando menos materiales haciendo la cosa en menos tiempo o con los mismos materiales con los mismos hombres hacer una mejor casa entonces desde el punto de vista de la optimización siempre hay varias opciones y por eso es que uno
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tiene que justificar o responder bien lo que uno está considerando como optimización ya la parte matemática de esto es que nosotros podemos utilizar las derivadas para optimizar pero como las derivadas es van de la mano con funciones o sea yo teníamos funciones nosotros necesitábamos tener funciones para poder derivar eso quiere decir que desde una situación de contexto nosotros necesitamos una
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función para poder usar derivadas y optimizarlos esa es la parte más compleja a veces poder descubrir calcular determinar la función bajo la cual nosotros vamos a trabajar entre la clase de hoy y la clase de mañana les voy a mostrar diversos ejemplos en los cuales uno utiliza las derivadas pero para ello nosotros necesitamos realizar un poco de teoría y la teoría se basa en lo que nosotros conocemos como el criterio de la primera y el criterio de
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la segunda deriva voy a partir con un ejemplo de algo que más o menos debiésemos todos saber y desde ahí voy a definir los criterios de la primera y la segunda derivada ya la papa guías ejemplo vamos a colocar a k h es igual a 7 - de cuadrado y aquí es alturas y 300
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matemáticamente hablando desde el punto de vista del curso anterior de matemáticas es como se llama esto alguien me puede decir qué es eso super bien y que como interpretábamos de esa parábola si yo coloco hdt y todo eso alguien me puede decir eso se vuelven también esto es matemática lo consideramos nosotros como una función cuadrática o parábola que en este caso yo le estoy definiendo que hs la altura y t es el
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tiempo por ejemplo si yo pregunto entre igual 0 cuál es la altura evaluamos el 0 y se obtiene que esto es 0 es decir en el momento 0 en la altura es 0 y al mismo tiempo este es un proyectil que va subiendo subiendo baja baja baja y cae por aquí y si nosotros calculábamos las se acuerdan de eso pero las intersecciones con el lecce eje x obteníamos un h1 h2 que es cuando el
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cohete por el proyectil sale desde acá y cuando cae y esto es 100 eso quiere decir que está volando 100 segundos 100 minutos 100 días lo que sea en este caso sólo le coloque tiempo pero lo que me importa a mí es lo siguiente qué es esto esto está aquí que es la altura máxima que llega p 1 y c 1 es el punto más alto y como se
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calculaba eso vamos a calcular a alguien i esto se calculaba vértice menos b / 2,4 hace menos que al cuadrado dividido 4a tenía esa fórmula no se separan y podíamos calcular qué super ya pero y si tenemos otro tipo de función
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que no sea una cuadrática y es decir si tenemos una función que no se puede graficar o que su gráfica es más difícil de hacer y cómo se determinan esos valores máximos de mínimos o dicho de otra manera
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qué pasa si tenemos una función que no es cuadrática que es cubica que es racional que es una función exponencial como sabemos y la respuesta es lo que yo les decía vamos a usar el criterio de la primera y segunda derivada yo aconsejo ahora yo les voy a definir el criterio de la de la primera y la
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segunda área y los vamos al ejemplo eficaz s día entonces vamos y criterios de optimización criterios de estos criterios de los pueden encontrar en cualquier libro en cualquier texto casi en cualquier página es un súper simple pero obviamente yo de ejemplificar se lo es un poquito mejor acá y dicen más o menos así sea
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una función cualquiera fx derivable la función es cualquiera derivable córdoba 5 segundos dónde es igual es un valor extremo y de este x ya aquí partimos hablando de valores extremos qué significa que sea extremo que puede ser máximo puede ser mixto
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entonces se obtiene los siguientes el criterio de la primera deriva primer adrià la primera derivada igualada 0 genere una ecuación esencial resolverla entrega como resultado a los postulantes al máximo o mínimo efe repito se deriva la función y se iguala a 0 y eso es una ecuación al resolver la entrega como resultado
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los postulantes a máximos y mínimos de efe y estos van a ser los puntos los c la c1 c2 lo que sea y c1 c2 c3 lo que sea y el criterio de la segunda derivada y dice lo siguiente dados los postulantes obtenidos con el criterio de la primera derivada
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vale decir c1 c2 c3 lo que sea se evalúan en la segunda derivada y se obtiene que entonces de acá se calculan los postulantes y acá vamos a saber si esos postulantes son máximos o mínimos o incluso puede que no sean nada 17 dos primas de ce psuv y del postulante
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es mayor que se lo entonces en x igual acceso ay mínimo 5 2 si la segunda derivada evaluada es negativa entonces nx igual hace surf hay un máximo df
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y 3 si la segunda derivada evalúan se sub 10 igual a 0 entonces no es ni máximo ni mínimo de la función un poco y y esos serían los criterios de la primera y segunda derivada me escriben es y más vamos a hacer un ejemplo en breve estoy haciendo algo para tenerles listo y después i y ah ah
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ah ya alguna consulta chico está ahí ahora o el ejemplo por eso le comentó i nadie borro entonces entonces vamos con un ejemplo y esto es función sin es decir esta es una función que no tiene ningún contexto y solamente la vamos a optimizar entonces optimi sol esta x igual
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2x cuba - 15 x cuadrado menos 36 x día alguien me puede decir qué es o cuál es el primer paso que vamos a hacer alguien hay que derivar primero lo súper bien cuál es la primera derivada de esto cuadrado soy x cuadrado pero el otro
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30 x - 30 x 36 menos 33 es súper bien luego que se hace con esa primera derivada y igual a 0 súper bien y luego que hacemos con eso que se obtiene pero antes de evaluar por qué hacemos por esto que está aquí en esta ecuación y hay que resolverlas exacto y lo que obtenemos lo vamos a
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evaluar en la otra entonces si resolvemos esto que me puede dar los valores x1 y x2 de esa resolución alguien frame como ustedes quieran los tienes que resolver lo que menos me interesa bien como resuelve una cuadrática ahora e y alguien para mí el x120 como hacer 19
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no hay humedad es entero algo y si este mal me dan menos 16 super y ahora estos tipos de acá son lo que se denominan matemáticas los postulantes qué hago con estos compadres ahora en la segunda derivada calculemos la segunda área l 2x 130 supergirl entonces evaluamos el -1 en la
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segunda derivada evaluamos el 6 en la segunda derivada y obtengo al menos 19 lo aguanto es el 6 evaluado cuánto es sería súper bien y en 6 serían 102 42 positivos 42 - 39 60 pero da lo mismo porque no importa que es posible si es negativo como el resultado es negativo aquí se obtiene un máximo
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y como el resultado es positivo aquí se obtiene un mínimo estos valores sólo importan si son más positivos o negativos ya entonces en x igual menos 1 se obtiene un máximo df y en x igual 6 se obtiene un un mínimo de ojo a estos máximos y mínimos cuando
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uno trabaja así véase acá se pueden considerar máximos y mínimos relativos porque nosotros tenemos que considerar que la función podría tener otro máximo mínimo podría seguir para otro lado pero en este caso si son máximos y medias y finalmente para conocer los valores máximos y mínimos se evaluó igual en la función original vale decir efe de menos 1 y es de 6 cuál
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es el valor de efe de menos uno acá si no me equivoco esto sería - 2 - 15 más 36 19 puestas 19 y f de 6 sería harto de esto es 2 por 2 16 15 x 36 y 36 por 6 - menos esto lo voy a calcular con calculadora
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232 el señor 540 en 36 x 62 16 pues no entonces 216 menos entre 40 si no me equivoco esto da menos 324 y ahora observemos esto en una gráfica que es sólo lo que estaba haciendo yo acá a misa cuando esté enviando y clarito profeta gracias entonces miren
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yo voy a estar ahí está la función gráfica y ustedes pueden ver ahí que éste está cristina que está aquí bien es el 1,19 menos uno como si no es un extremo que se los marca y si yo me voy para abajo bien el otro extremo está acá abajo abajo abajo está aquí en -6 perdón en 6 - 324 ver que era eso y si esta función yo la lleva un poco
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más cómoda al general ahí está se fijan sube baja sube baja pero podríamos colocar un poquito es un cierto y porque se consideraba un extremo relativo lo que yo les comentaba porque a pesar de que este es un extremo se fijan esta función después sigue subiendo por lo tanto ese no es un extremo total o un máximo total sino que es un máximo relativo y lo mismo hacia abajo la función la función este es un extremo cierto pero la función para aquí sigue bajando
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también entonces solamente relativo dudas estimados querubines tengo una programa profe m bueno y para finalizar esta parte de la sesión quiero mostrarles dos tipos de problemas mira están viendo la guía en este día ustedes pueden observar bueno aquí hay problemas para calcular puntos críticos máximo y
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mínimo cierto y justamente nosotros trabajamos es el style pero después vienen problemas y los problemas se dividen en dos categorías uno es cuando les plantean el problema y la función que usted tiene que trabajar en este caso ese de té está dada pero también hay problemas de otro estilo como por ejemplo este que está aquí
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donde les plantean lo que tienen que hacer un terreno rectangular bla bla bla y la función no está dada sino que ustedes tienen que calcularla y luego hacer la optimización ya esa es como lo que viene ahora que es la diferencia entre entre problemas que tienen la función dada y problemas que hay que construir la función ya con esto
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nosotros ya tenemos la guía 1 la guía 2 la guía 3 más o menos revisadas y en la clase de en el caso ustedes el día jueves vamos a revisar esta guía que es la guía 5.1 que son aplicaciones ya azul y fija y muchas aplicaciones desde donde ya usted tiene que comenzar a trabajar [Música] para su nota parcial 3 qué es lo que
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está aquí ya este archivo ya se los dejé en canvas si no me equivoco que ustedes ya tienen que revisar esta es la actividad que van a tener que desarrollar para la nota parcial 3 entre los días 19 26 de octubre así que en grupos de tres como les sugerí les comenté en algún momento para que ustedes ya empiecen a revisar esto ya en la clase del día jueves vamos a revisar este archivo con mayor detalle pero ya les pido que vayan a revisarlo a canvas
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hasta consultas chicos la encuentra no era para preguntar si es que algún grupo le faltaba algún integrante para el taller sentir que los compañeros comentar por el mismo chat o sino por el grupo de lo acepto está en el grupo de huesca por no saber si hay para qué para que lo comenté en el que usted yo en todo caso en el mismo archivo que yo les comenté javier en este archivo dice que si es
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que de aquí al jueves no me han inscrito a la gente que no tenga grupos la voy a inscribir yo en grupo podría generar grupos entre la gente que no tenga no queda compañero voy a mostrarte el tiro dame 5 segundos pero buscando de casta dónde está luego de la conformación de grupos por parte de ustedes un representante de día debe enviar un correo al profesor para inscribir a los otros integrantes esto
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antes de las 20 horas del día jueves 30 de septiembre y posterior a eso yo voy a asignar grupos a las tartas de los estudiantes que no estén inscritos ya así que ahí les pido que tengan como ojo con eso para que se puedan armar usted mismo pueden hacer grupos con estudiantes de la otra sección no hay problema con eso así que pueden hay conversar con sus compañeros proceden de los votos y efectivamente no lo envía super
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de niños a tales dejó la grabación

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